Os cientistas descobriram a geometria universal da geologia e descobriu-se que o mundo consiste em cubos

Exercícios em matemática pura levaram à criação de uma teoria em larga escala sobre a estrutura do mundo

Em algum momento no meio do verão de 2016, o matemático húngaro Gabor Domokos pisou na varanda da casa de Douglas Jerolmak , um geofísico da Filadélfia. Domokosh tinha malas de viagem com ele, um forte resfriado e um segredo ardente.



Um pouco mais tarde, dois homens caminharam pela calçada de cascalho no quintal onde a esposa de Jerolmak mantinha um carrinho de tacos. Pedra calcária esmagada sob seus pés. Domokosh apontou para seus pés.



"Quantas facetas cada uma dessas pedras tem?" - ele perguntou. Então ele sorriu. "E se eu te disser que geralmente são seis?" E então ele fez uma pergunta ainda mais geral que esperava que residisse permanentemente no cérebro de seu colega. E se o mundo for feito de cubos?



Jerolmak primeiro objetou: talvez as casas sejam feitas de tijolos, mas a Terra é feita de pedras. E a forma das pedras é obviamente diferente. Mica se desintegra em escamas, cristais se quebram ao longo de eixos rigidamente definidos. No entanto, Domokosh argumentou que a matemática pura por si só implica que qualquer pedra que se quebra aleatoriamente irá gerar formas com uma média de seis faces e oito vértices. Se tomarmos a média de todos eles, tenderá a algum tipo de cubo ideal. Domokosh disse que provou matematicamente. Agora ele precisava de Jerolmak para ajudá-lo a mostrar que isso também acontece na natureza.



"Foi uma previsão geométrica clara, nascida da natureza e sem nenhuma física", disse Jerolmak, professor da Universidade da Pensilvânia. "Como diabos a natureza permitiu isso?"



Nos anos seguintes, o casal explorou sua ideia geométrica, explorando tudo, desde fragmentos microscópicos de rochas a afloramentos de rochas geológicas, superfícies planetárias e até mesmo o diálogo de Timeu de Platão . Tudo isso cobriu o projeto com um toque de misticismo. Um dos maiores filósofos por volta de 360 ​​AC mapeou cinco sólidos platônicoscom cinco "elementos" do universo: terra, ar, fogo, água e matéria estelar. Por sorte e / ou previsão, Platão comparou os cubos, que são melhor empilhados, com o solo. “E eu pensei - tudo bem, agora já entramos um pouco no território da metafísica”, disse Jerolmak.





Gabor Domokos e Douglas Jerolmak



No entanto, eles continuaram a encontrar cubóides médios na natureza, bem como várias formas que não se pareciam com cubos, mas obedeciam à mesma teoria. Como resultado, eles criaram uma nova plataforma matemática: uma linguagem descritiva que expressa como as coisas se desintegram. Publicado este ano, seu trabalho conjunto com o título lembra um tomo esotérico da série Harry Potter: O Cubo de Platão e a Geometria Natural da Fragmentação.



Vários geofísicos contatados pela revista afirmam que a mesma plataforma matemática pode ser usada para outras tarefas, como estudar a erosão de falhas rochosas ou prevenir deslizamentos perigosos. "Isso é muito interessante", disse o geomorfologista Mikael Attal, da Universidade de Edimburgo, um dos dois revisores deste trabalho. Outro revisor, o geofísico David Furbisch, da Vanderbilt University, disse: "Esse tipo de trabalho me deixa pensando se de alguma forma posso tirar proveito dessas idéias."

Todas as falhas possíveis

Muito antes de sua visita à Filadélfia, Domokosh tinha uma questão matemática mais inofensiva.



Digamos que você quebrou algo em muitos pedaços. Agora você tem um mosaico - um conjunto de formas que podem ser colocadas juntas sem sobreposições ou quebras, como o chão de uma antiga banheira romana. Além disso, suponha que todas as formas sejam convexas.



A princípio, Domokosh se perguntou se seria possível apenas por meio da geometria prever em quais figuras, em média, esse mosaico consistiria. Em seguida, ele queria aprender como descrever todos os outros conjuntos possíveis dessas figuras.



Em duas dimensões, você não precisa quebrar nada em pedaços para estudar este assunto. Pegue um pedaço de papel. Corte-o aleatoriamente, dividindo a folha em duas. Em seguida, faça um corte em cada um desses polígonos. Repita o processo várias vezes. Calcule o número médio de vértices para cada folha de papel.



Para uma pessoa que estuda geometria, encontrar a resposta a essa pergunta não será tão difícil. “Coloquei uma caixa de cerveja para poder ajudá-lo a obter esta fórmula em algumas horas”, disse Domokosh. Em média, as peças devem ter quatro vértices e quatro lados, e sua forma média será retangular.



O mesmo problema pode ser visto em três dimensões. Cerca de 50 anos atrás, um físico nuclear russo, ganhador do Prêmio Nobel da Paz e, mais tarde, um dissidente, Andrei Dmitrievich Sakharov ponderou o mesmo problema quando estava cortando repolho com sua esposa. Quantos vértices cada uma das peças resultantes terá em média? Sakharov entregou essa tarefa ao lendário matemático soviético Vladimir Igorevich Arnold e seu aluno. No entanto, eles não encontraram uma solução completa e suas tentativas foram amplamente esquecidas.





Pedregulhos de Moeraki na Nova Zelândia



Domokosh, que não sabia de seu trabalho, escreveu uma prova, cuja resposta foi cubos. Mas ele queria verificar se estava correto. Ele decidiu que se a resposta para este problema já existe, então ela deveria estar escondida no trabalho incompreensível dos matemáticos alemães Wolfgang Weil e Rolf Schneider - um titânio de 80 anos do campo da geometria [o título não está indicado no original - aparentemente, ele se refere ao livro " Estocástico e geometria integral "/ aprox. por.]. Domokosh é um matemático profissional, mas o texto do livro era muito pesado até para ele.



“Eu encontrei uma pessoa que concordou em ler a parte necessária do livro para mim e traduzi-lo de volta para humano”, disse Domokosh. Ele encontrou um teorema lá para qualquer número de dimensões. Ela confirmou que os cubos aparecem na resposta em três dimensões.



Agora Domokosh encontrou números médios que são obtidos cortando uma superfície plana ou um tijolo tridimensional. Uma questão mais geral surgiu. Domokosh percebeu que também poderia desenvolver uma descrição matemática não apenas de números médios, mas potencialmente de qualquer um: que conjunto de números, em princípio, pode ser obtido dividindo um objeto?



Lembre-se de que as figuras obtidas após a desintegração do objeto são um mosaico. Eles podem ser colocados juntos sem sobreposição ou lacunas. Os retângulos em que cortamos a folha podem ser facilmente compostos de modo que preencham o mosaico 2D. Os hexágonos também são capazes disso - no caso idealizado de um conjunto, que os matemáticos chamam de " diagrama de Voronoi ". Mas o avião não pode ser pavimentado com pentágonos ou octógonos.





Geometria de Marte. Para analisar a superfície - neste caso, a superfície em forma de favo de mel de uma cratera de Marte - os pesquisadores marcam todos os topos e lados. Eles contam o número de vértices para cada uma das células e o número de células para as quais cada um dos vértices é comum.



Para classificar corretamente os mosaicos, Domokosh começou a descrevê-los com dois números. O primeiro é o número médio de vértices por célula. O segundo é o número médio de células diferentes para as quais existe um vértice comum. Assim, por exemplo, em um mosaico de ladrilhos hexagonais, cada ladrilho possui seis vértices. E cada vértice é comum a três hexágonos.



Nos mosaicos, só funcionam certas combinações desses dois parâmetros, o que dá uma pequena gama de figuras nas quais algo pode, em princípio, se desintegrar.



Novamente, esse intervalo é bastante fácil de encontrar em duas dimensões, mas muito mais difícil em três. No espaço tridimensional, os cubos se encaixam muito bem, mas existem outros tipos de formas, incluindo aquelas que formam versões tridimensionais do diagrama de Voronoi. Para não complicar o problema, Domokosh se limitou a um mosaico de células convexas regulares com vértices comuns. Como resultado, ele e o matemático Zsolt Langy surgiram com uma nova hipótese, esboçando uma curva que se ajusta a todos os mosaicos tridimensionais possíveis. Eles publicaram o trabalho na revista Experimental Mathematics, “e então eu enviei tudo para Rolf Schneider, nossa divindade”, disse Domokos.





Espaço de cubos. Em três dimensões, a maioria das pedras é dividida em cubos com oito vértices por célula. Um mapa de mosaicos admissíveis de formas convexas com células regulares que possuem vértices comuns se encaixa em uma faixa estreita. A área das formas cubóides é destacada em vermelho.

Vertical: o número de vértices por célula

Horizontal: o número de células comuns em cada vértice



“Perguntei se era necessário explicar como cheguei a essa hipótese, mas ele disse que sabia disso”, ri Domokosh. "Foi cem vezes mais importante para mim do que a aceitação de um artigo por qualquer revista do mundo."



Mais importante, Domokosh agora tinha uma plataforma. A matemática forneceu uma maneira de classificar todas as maneiras de particionar superfícies e blocos. E a geometria previu que se você quebrar uma superfície plana por acidente, ela se dividirá em algo como retângulos. Em três dimensões, a divisão resultará em algo parecido com cubos.



Mas para que tudo isso importe para alguém que não seja um pequeno grupo de matemáticos, Domokosh teve que provar que o mundo real também obedece a essas regras.

Da geometria à geologia

Na época em que Domokosh estava na Filadélfia em 2016, ele já havia conquistado algo para resolver o problema em relação ao mundo real. Junto com colegas da Universidade de Tecnologia e Economia de Budapeste, eles coletaram fragmentos de dolomita que se separaram da rocha Harmashhatar-hegy, localizada em Budapeste. Durante vários dias, um operário de laboratório, sem preconceito sobre cubos, contou diligentemente o número de faces e vértices de centenas de peças. Qual pontuação média ele obteve? Seis faces, oito picos. Domokos, junto com Janos Törok, um simulador de computador, e Ferenc Kun, um especialista em física de fragmentação, descobriram que cubóides médios apareceram em outros tipos de rochas, como gesso e calcário.



Armado com matemática e evidências físicas precoces, Domokosh lançou sua ideia para um Jerolmak oprimido. “Ele me hipnotizou e todo o resto simplesmente desapareceu por um tempo”, disse Jerolmak.



Sua aliança não era nova. Muitos anos atrás, Domokosh ganhou fama ao provar a existência dos Gömböts.- uma figura tridimensional engraçada, teimosamente virando-se para uma certa posição de equilíbrio. Para descobrir se os gömböts poderiam existir na realidade, ele atraiu Jerolmak, que ajudou a aplicar este conceito para explicar a forma redonda dos seixos na Terra e em Marte por.]. Agora Domokosh novamente pediu ajuda para transformar alguns conceitos matemáticos teóricos em uma pedra tangível.





Gömbötz é uma figura homogênea tridimensional convexa que tem exatamente um ponto de equilíbrio estável e um ponto de equilíbrio instável



O casal concordou com um novo plano. Para provar a existência de cubos platônicos na natureza, eles precisavam mostrar mais do que apenas uma coincidência aleatória de geometria e um punhado de seixos. Eles precisavam olhar para todas as rochas e, em seguida, esboçar uma teoria convincente de como a matemática abstrata poderia se infiltrar em uma geofísica confusa e, em seguida, em uma realidade ainda mais confusa.



No início, “tudo parecia funcionar”, disse Jerolmak. A matemática de Domokosh previu que os fragmentos de pedras deveriam, em média, ser cubos. Um número crescente de fragmentos reais parecia se encaixar nessa teoria. No entanto, Jerolmak logo percebeu que, para provar a teoria, era necessário lidar com exceções às regras.



Afinal, a mesma geometria permite descrever muitos outros padrões de mosaico, cuja existência é permitida em duas e três dimensões. Djerolmak poderia imediatamente nomear vários tipos de pedras reais, não semelhantes a retângulos e cubos, que ainda poderiam ser colocados nesta classificação mais extensa.



Talvez esses exemplos refutassem completamente a teoria do mundo cúbico. Ou, talvez mais interessante, eles só apareceriam em ocasiões especiais nas quais os geólogos pudessem aprender novas lições. “Eu disse que sei que não funciona em todos os lugares e preciso saber por quê”, disse Jerolmak.



Nos anos seguintes, Jerolmak e sua equipe, trabalhando em ambos os lados do Atlântico, começaram a marcar exatamente onde exemplos da vida real de pedaços de pedras caíram na plataforma Domokosh. Examinando superfícies essencialmente bidimensionais - permafrost rachado no Alasca, afloramentos de dolomita, rachaduras em um bloco de granito - eles encontraram polígonos que, em média, tinham quatro lados e quatro vértices, assim como papel cortado. Cada um desses fenômenos geológicos parecia se manifestar onde as rochas simplesmente se racharam. Nesta área, a previsão de Domokosh se tornou realidade.





Universo de telhas. Todos os blocos convexos possíveis que cobrem completamente o plano podem ser plotados contra o número médio de vértices em um bloco (eixo y) e o número médio de células que dividem um vértice (eixo x). Exemplos do mundo real:

6 - pavimento de gigantes , 7 - permafrost no Alasca, 8 - lama seca, 9 - superfície de granito.



Mas havia um tipo de superfície plana que correspondeu às esperanças de Jerolmac: foi uma exceção com sua própria história. Superfícies planas cobertas de sujeira secam, racham, molham, apertam e racham novamente. As células nessas superfícies têm, em média, seis lados e seis vértices - um diagrama de Voronoi aproximadamente hexagonal. Uma aparência semelhante tem uma superfície rochosa que apareceu após a solidificação da lava, que se solidificou da superfície e para baixo.



Curiosamente, são esses sistemas formados sob a influência de outras forças que os espremem para fora, em vez de empurrá-los para dentro. A geometria revela características geológicas. Jerolmak e Domokosh acreditavam que esse diagrama de Voronoi, embora bastante raro, também poderia aparecer em uma escala muito maior do que haviam estudado anteriormente.





O diagrama de Voronoi divide o plano em seções separadas, cada uma das quais consiste em todos os pontos mais próximos do ponto inicial.

Contando a crosta

Durante o desenvolvimento, a equipe se reuniu em Budapeste e passou três dias frenéticos tentando freneticamente incluir mais exemplos da vida real no modelo. Logo, Jerolmak trouxe à tona um novo padrão na tela do computador: um mosaico das placas tectônicas da Terra. As placas ficam na litosfera, uma pele quase bidimensional na superfície do planeta. O padrão parecia familiar e Jerolmak chamou outros para admirá-lo. “Ficamos todos chocados”, disse ele.



À primeira vista, parece que os desenhos planos tendem para o diagrama de Voronoi, e não para a grade quadrada. E então a equipe fez os cálculos. Em um mosaico Voronoi ideal de hexágonos em um plano, cada célula deve ter seis vértices. As placas tectônicas reais tiveram uma média de 5,77 picos.



Nesse momento, o geofísico já pode comemorar a vitória. Mas a matemática não combinava. “O humor de Doug estava melhorando. Ele trabalhava como se fosse um regular - disse Domokosh. "E no dia seguinte eu estava chateado porque estava pensando sobre essa separação."



À noite Domokosh foi para casa, ainda devorado por essa diferença. Ele escreveu todos os números novamente. E de repente uma revelação desceu sobre ele. Mosaicos hexagonais podem pavimentar o plano. Mas a Terra não é plana - pelo menos fora de alguns dos cantos controversos do YouTube. Imagine uma bola de futebol composta de pentágonos e hexágonos. Domokosh processou os dados levando em consideração a superfície esférica e descobriu que, na bola, as células do mosaico de Voronoi deveriam ter uma média de 5,77 vértices.



Essa ideia ajudou os pesquisadores a resolver uma das questões importantes e abertas da geofísica: como as placas tectônicas da Terra são formadas? Alguns acreditam que essas placas são um subproduto das correntes de convecção que se movem nas profundezas do manto. Seus oponentes acreditam que a crosta terrestre é um sistema separado. Ele se expandiu, tornou-se quebradiço e quebrou. Combinar as lajes com o diagrama de Voronoi, que se assemelha a uma crosta de lama, pode apoiar a segunda teoria, disse Jerolmak. “Também me deu uma noção da importância desse trabalho”, disse Attal. "Fenomenal."

Momento crucial

Em três dimensões, havia muito poucas exceções à regra do cubo. E eles também podem ser explicados pela simulação de forças incomuns empurrando para fora. Uma formação distintamente não cúbica está na costa da Irlanda do Norte, onde as ondas quebram contra dezenas de milhares de colunas de basalto. Em irlandês é chamado de Clochán na bhFomhórach , uma estrada de pedras para seres sobrenaturais. Em inglês, é chamada de " ponte dos gigantes ".



É importante que essas colunas e outras formações vulcânicas semelhantes sejam hexagonais. No entanto, a julgar pelas simulações de Tyrok, os mosaicos semelhantes a este pavimento são simplesmente estruturas tridimensionais que cresceram a partir da base bidimensional dos diagramas de Voronoi depois que a rocha vulcânica esfriou.





Bridge of Giants na Irlanda do Norte



A equipe argumenta que, se você tiver uma visão geral, a maioria dos mosaicos da pedra rachada pode ser classificada usando retângulos platônicos, diagramas 2D de Voronoi e todos juntos - cubos platônicos em três dimensões. Cada um dos padrões pode contar sua própria história geológica. E, sim, dadas algumas peculiaridades, podemos dizer que o mundo é feito de cubos.



"Eles validaram devidamente seu modelo em relação à realidade", disse Martha-Carey Epps , especialista em ciências da Universidade da Carolina do Norte. "Meu ceticismo inicial desapareceu."



“A matemática nos diz que se esmagarmos rochas, o que quisermos, por acidente ou propositalmente, ainda temos um conjunto limitado de opções”, disse Furbish. "Não é inteligente?"



Talvez você consiga pegar, por exemplo, um lugar real consistindo de rocha fraturada, contar os vértices e arestas e, então, tirar uma conclusão sobre os processos geológicos que ocorrem ali.



“Para alguns lugares, temos dados que nos permitem olhar para essa questão desse ângulo”, disse Roman Dibayas , geomorfologista da Universidade Estadual da Pensilvânia. “Seria legal se pudéssemos tirar conclusões de coisas que não são óbvias como o pavimento dos gigantes - apenas bater em uma pedra com um martelo e ver como são os cacos.”



Jerolmak, que a princípio acreditava que a conexão com os sólidos platônicos poderia ser acidental, agora aceitou essa hipótese. Afinal, o filósofo grego acreditava que as formas geométricas corretas são necessárias para o conhecimento do Universo, embora elas próprias sejam invisíveis aos olhos, e apareçam apenas na forma de sombras distorcidas.



"Este é literalmente o exemplo mais óbvio que você pode imaginar. A média estatística de todas essas observações é um cubo, disse Jerolmak. "Mas tal cubo não pode ser encontrado."