Dois matemáticos provam o primeiro estágio da conjectura favorita de Erd sobre padrões em sequências de números
Alguns matemáticos comprovaram a primeira parte de uma das hipóteses mais famosas a respeito das propriedades aditivas dos inteiros. Foi proposto há mais de 60 anos pelo lendário matemático húngaro Pal Erdos . Parece o seguinte: em que ponto de uma lista infinita de inteiros são garantidos padrões de pelo menos três números espaçados na mesma distância uns dos outros - por exemplo, 26, 29 e 32.
Erdos formulou milhares de problemas durante sua carreira, mas a questão é, cuja lista de números contém números equidistantes uns dos outros (o que os matemáticos chamam de progressões aritméticas) era um de seus favoritos. “Acho que muitas pessoas viram isso como a principal preocupação de Erds”, disse Timothy Gowers, da Universidade de Cambridge. Gowers, que recebeuPrêmio Fields em 1998, passou muitas horas tentando resolver esse problema. “Praticamente todas as combinatórias aditivas bastante ambiciosas tentaram resolvê-lo”, disse ele, referindo-se ao ramo da matemática ao qual essa hipótese pertence.
Listas de números mais densas geralmente têm mais probabilidade de conter uma progressão aritmética do que listas esparsas. Portanto, Erdos sugeriu uma verificação simples para a densidade de uma lista: adicione os valores inversos daqueles na lista. Se houver números suficientes para tornar essa soma infinita, então, de acordo com Erdös, a lista deve conter um número infinito de progressões aritméticas de qualquer comprimento finito - três, quatro, etc. números em uma fileira.
Em um artigo publicado online em 7 de julho por Thomas Bloom de Cambridge e Olaf Sisaskda Universidade de Estocolmo provou essa conjectura no caso de tripletos de números com espaçamento uniforme, como 5, 7 e 9. Este par mostrou que, quando a soma dos recíprocos para os números em uma lista é infinita, ela deve conter infinitos triplos de números igualmente espaçados.
Thomas Bloom, de Cambridge
“Este é o resultado mais notável em muitos anos”, disse Nets Katz, do California Institute of Technology. "Este é um evento significativo."
Um dos conjuntos, a soma dos números recíprocos para os quais tende ao infinito, são números primos - aqueles que são divisíveis apenas por 1 e eles próprios. Na década de 1930, Johannes van der Corputusou uma estrutura especial de primos para mostrar que neles realmente você pode encontrar um número infinito de trigêmeos igualmente espaçados (por exemplo, 17, 23 e 29).
No entanto, a nova descoberta de Bloom e Sisask significa que não é necessário compreender profundamente a estrutura única dos primos para provar que há um número infinito de triplos neles. Basta saber apenas que existem números primos suficientes para que a soma de seus valores recíprocos seja infinita - e isso é conhecido dos matemáticos há muitos séculos. “O resultado de Thomas e Olaf nos diz que mesmo que sua estrutura fosse completamente diferente do que eles realmente têm, o simples fato de ter um grande número deles garantiria uma infinidade de progressões aritméticas”, escreveu Tom Sanders para nósda Universidade de Oxford.
O novo trabalho tem 77 páginas e levará algum tempo para que os matemáticos o verifiquem completamente. No entanto, muitos estão otimistas sobre isso. “Realmente parece que a prova dessa afirmação deveria ser”, disse Katz, cujo trabalho inicial formou a base para isso.
O teorema de Bloom e Sisask diz que se a lista de números for densa o suficiente, certos padrões devem aparecer nela. Essa descoberta é consistente com o lema fundamental da matemática, como a chama Sarah Pillus de Oxford, formulado pela primeira vez por Theodore Motzkin: "Não há desordem absoluta."
Densidade disfarçada
É muito fácil criar uma lista infinita sem progressões aritméticas se você torná-la esparsa o suficiente. Por exemplo, considere a sequência 1, 10, 100, 1.000, 10.000, ... Os recíprocos somam 1.111 (1). A distância entre esses números aumenta tão rapidamente que nem um único tripleto de números localizados a uma distância igual um do outro pode ser encontrado.
No entanto, você pode estar se perguntando se existe uma lista mais densa de números que ainda não tem progressões aritméticas. Você pode, por exemplo, caminhar ao longo de uma reta numérica e deixar todos os números que não estão incluídos nas progressões aritméticas. Temos a sequência 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, ... que à primeira vista parece bastante densa. No entanto, com o tempo, ele se torna cada vez mais esparso - por exemplo, quando chegarmos aos números de 20 dígitos, pegaremos apenas 0,000009% de todos os inteiros da reta numérica. Em 1946, Felix Berend apresentou exemplos mais densos, mas eles também se tornaram esparsos muito rapidamente - o conjunto de Berend, alcançando números de 20 dígitos, contém apenas 0,001% de todos os inteiros.
Por outro lado, se seu conjunto contém quase todos os inteiros, então ele definitivamente conterá sequências aritméticas. Mas entre esses dois extremos encontra-se um vasto território do meio quase não marcado. Quão esparso pode ser um conjunto, especulam os matemáticos, de modo que as progressões aritméticas ainda possam ser garantidas lá?
Olaf Sisask da Universidade de Estocolmo
Erdos (como eles dizem, possivelmente em conjunto com o matemático húngaro Pal Turan) deu uma resposta possível. Sua condição para a soma dos recíprocos é a densidade mascarada. Acontece que isso é o mesmo que dizer que a densidade de uma lista até o número N não é menor que um dividido pelo número de dígitos em N. Em outras palavras, sua lista pode se tornar cada vez mais esparsa à medida que você se move ao longo da reta numérica, mas somente se isso acontece muito lentamente. Em números de 5 dígitos, a densidade da sua lista deve ser de pelo menos 1/5; em 20 dígitos - pelo menos 1/20 e assim por diante. E se essa condição for atendida, então, como sugeriu Erdos, sua lista deve conter um número infinito de progressões aritméticas de qualquer tamanho.
Em 1953, Klaus Roth colocou os matemáticos no caminho que conduz à prova da conjectura de Erd. No trabalho que lhe rendeu o Prêmio Fields naquele ano, ele definiu uma função densidade que garante trigêmeos equidistantes de números. A densidade não era tão baixa quanto a de Erds, mas mesmo assim se aproximou de zero conforme avançávamos ao longo da reta numérica. O teorema de Roth significava que na lista de números cuja densidade finalmente cai abaixo de 1%, e então abaixo de 0,1%, e então abaixo de 0,01% e assim por diante, deve haver progressões aritméticas, se apenas sua densidade cair o suficiente lento.
A palestra de Pal Erd “60 Years in Mathematics” na Universidade de Cambridge em junho de 1991.
Em primeiro lugar, a abordagem de Roth foi baseada no fato de que a maioria das listas com a densidade que ele escolheu "querem" ter progressões aritméticas - elas têm pares de números diferentes o suficiente para que quase certamente alguns dos pontos médios entre esses pares também apareçam nesta lista, que levaria ao aparecimento de trigêmeos igualmente espaçados. O truque é como ir de uma lista de “quase todos” os números para uma lista de “todos” os números, mesmo que toda a estrutura pudesse ser especialmente projetada para evitar progressões aritméticas.
Tendo recebido essa lista, Roth descobriu como "destilar" sua estrutura marcando seu "espectro de frequência" usando a transformada de Fourier... Mostra quais dos padrões emergentes são mais pronunciados - a mesma matemática é a base de tecnologias como cristalografia de raios-X e radiospectroscopia.
Algumas frequências parecem mais fortes do que outras e essas variações enfatizam os padrões existentes - por exemplo, a frequência pode indicar que a lista contém mais números ímpares do que pares. Nesse caso, você pode se concentrar apenas nos números ímpares e obter uma lista mais densa em comparação com uma lista apenas de números ímpares. Roth foi capaz de mostrar que depois de várias destilações, uma lista seria tão densa que as progressões aritméticas teriam que estar presentes nela.
A abordagem de Roth inspirou muitos artigos na teoria analítica dos números nos últimos cinquenta anos, diz Jacob Fox, da Universidade de Stanford. "Suas idéias foram muito influentes."
Game, set, match
No entanto, o método de Roth funcionou apenas para aqueles conjuntos de números que já eram bastante densos desde o início - caso contrário, as destilações constantes simplesmente evaporariam todos os números. Outros matemáticos estavam constantemente encontrando maneiras de usar esse método de forma cada vez mais eficaz, mas não conseguiam chegar perto da densidade descrita na hipótese de Erds. “Este obstáculo parecia muito difícil”, disse Fox.
Então, em 2011, Katz e Michael Bateman descobriram como superar esse obstáculo em termos mais simples: no jogo de cartas Set, onde os jogadores procuram conjuntos de três cartas marcadas com símbolos diferentes. O jogo Três do Conjunto pode ser definido como uma progressão aritmética e, como no caso de uma lista de inteiros, você pode perguntar qual fração de todas as cartas você precisa colocar na mesa para encontrar pelo menos um três.
Conjunto de jogos
O objetivo do jogo é encontrar trigêmeos especiais de cartas, ou "conjuntos", em um baralho de 81 cartas. Cada carta tem seu próprio desenho com quatro propriedades - cor (vermelho, roxo, verde), forma (oval, losango, onda), sombreamento (contorno, listras, totalmente preenchido) e o número de formas (um, dois ou três). No jogo normal, 12 cartas são distribuídas viradas para cima na mesa e os jogadores procuram conjuntos de três cartas em que cada um dos quatro atributos seja o mesmo para todas as cartas ou diferente para todas as cartas. Se não houver conjuntos entre as 12 cartas, mais cartas são adicionadas.
Deck inteiro
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| ? |  |
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Uma maneira fácil de construir um conjunto bastante grande de cartas sem tercinas é pegar apenas cartas que tenham apenas duas ou três opções para cada atributo. O tamanho dessa coleção será (2/3) n de todo o baralho, onde n é o número de atributos.
Esta questão (relacionada não apenas ao jogo Set padrão, mas também às suas versões maiores) é um modelo natural para estudar a questão correspondente em relação aos inteiros. Portanto, os matemáticos esperavam que a descoberta de Bateman e Katz pudesse abrir o caminho para uma prova da conjectura de Erd, especialmente quando combinada com outras descobertas recentes . Logo após o lançamento do trabalho de Bateman e Katz, Gowers lançou o " projeto polímata"- uma colaboração conjunta maciça foi projetado para fazer a tentativa.
No entanto, o projeto rapidamente estagnou" Nele se reuniram uma enorme quantidade de argumentos técnicos, - ele disse Gowers -. Este projeto é mais adequado para uma ou duas pessoas, por um longo tempo e, lentamente trabalhando nisso "..
Por Felizmente, alguns matemáticos estavam se preparando para isso. Bloom e Sisask, a princípio separadamente, já começaram a ponderar a hipótese de Erds, cativados pela beleza das técnicas usadas nela. "Este foi um dos primeiros problemas de pesquisa que enfrentei", disse Sisask , que, como Bloom, agora tem cerca de 35 anos.
Bloom e Sisask uniram forças em 2014 e, em 2016, decidiram que estavam perto de uma solução. Bloom até anunciou isso em sua palestra, e só depois disso ele descobriu que algumas das soluções alternativas que encontraram estavam erradas. O casal continuou a trabalhar, mergulhando no método de Bateman e Katz, e finalmente percebeu que novas ideias os permitiriam transferir esse método do mundo de Seth para o mundo dos inteiros.
O novo trabalho parece estar correto em todos os ângulos, disse Katz. “Não acreditei nas declarações anteriores, mas acredito nisso.”
O trabalho de Bloom e Sisask é "uma conquista tremenda", disse Fox. Eles e outros matemáticos estão ansiosos para descobrir se as técnicas do novo trabalho se aplicam a outros problemas. “Acho que esses métodos terão um grande impacto na matemática”, disse Fox.
Quanto à hipótese de Erd como um todo, o trabalho sobre ela ainda está longe de ser concluído. Bloom e Sisask provaram essa hipótese apenas para trigêmeos de números igualmente espaçados, mas não para progressões aritméticas mais longas - essa tarefa ainda está fora de alcance.
E mesmo a questão com três, que Bloom e Sisask já fecharam, na opinião de muitos matemáticos, não ajuda particularmente. Por mais difícil que seja provar que a densidade de Erd garante a existência de trigêmeos equidistantes de números, os matemáticos suspeitam que a densidade real na qual essa garantia deixa de funcionar é muito menor - talvez ligeiramente maior do que a densidade dos conjuntos que Berend projetou.
“Isso não quer dizer que resolvemos completamente este problema, - disse Bloom. "Nós lançamos um pouco mais de luz sobre ela."
Bloom e Sisask provavelmente extraíram o melhor dos métodos atuais, disse Fox. “Deve haver algumas ferramentas completamente novas que nos permitirão ir muito mais longe e obter um resultado dramaticamente melhor”, disse ele. No entanto, "este provavelmente não é o fim da história".