SamsPcbCalc Parte 1: Característica da Microstrip por Harold Wheeler e Eric Bogatin

Agora estou desenvolvendo uma calculadora para placas de circuito impresso e estudando os modelos de cálculo que estão por trás das fórmulas tabulares. Cheguei à resistência das ondas da linha de microtira e decidi falar sobre o modelo Harold Wheeler e como Eric Bogatin o subestimou, mas descobri que não tinha nenhuma publicação aqui sobre o tema da resistência das ondas, então primeiro um pouco de teoria e depois restaurar a justiça.



A impedância característica para uma linha sem perdas é expressa pela fórmula bem conhecida:



onde L L e C L são indutância linear e capacitância de linha (isto é, por unidade de comprimento). Acho que será útil esclarecer de onde vem. Considere uma seção extremamente pequena de uma longa linha de transmissão de dois fios através da qual uma corrente alternada flui (Fig. 1). A corrente é alternada, então os valores instantâneos de corrente, tensão entre fios e densidade de carga elétrica linear variam ao longo dos fios.





A lei de conservação de carga para a seção do fio e a lei de Faraday para o circuito são as seguintes:



Para uma linha sem perdas (R L = 0) e levando em consideração Φ L = L L ∙ i e q L = C L ∙ v obtemos:



Essas equações diferenciais são reduzidas a uma forma de onda, para a qual obtemos:



onde u é a velocidade de propagação da onda e o coeficiente que conecta a corrente nos fios e a tensão entre os fios é a impedância característica. Aqui estão algumas relações úteis (TD é o atraso de tempo da linha):



Capacitância e indutância dependem da frequência, portanto, a impedância característica muda com a frequência. A influência do efeito de pele na indutância é limitada a frequências de até várias dezenas de megahertz, na faixa de frequência superior ela muda insignificantemente. O valor da capacitância é afetado pela dependência da constante dielétrica do material da placa de circuito impresso com a frequência, e para linhas de microfita, devido à assimetria do dielétrico, também o efeito da dispersão. Os dados para fibra de vidro FR-4 em diferentes fontes diferem, no entanto, como uma estimativa, pode-se supor que a constante dielétrica diminui 0,15-0,2 a cada década (Fig. 2). A diferença nos dados se deve ao fato de que FR-4 é uma classe de materiais. Consiste em fibra de vidro e resina epóxi com constantes dielétricas significativamente diferentes (Fig. 3).Quanto mais resina houver no material, menor será o valor médio do volume da constante dielétrica do laminado de fibra de vidro. Portanto, valores diferentes para fabricantes diferentes. Aliás, por conta dessa anisotropia, a constante dielétrica também depende da direção - longitudinal ou transversal, o que afeta os cálculos das linhas diferenciais, já que a configuração do campo será diferente dependendo do modo.







O arranjo mútuo de fibra de vidro e fibras condutoras também afeta a impedância característica. Se o condutor estiver localizado acima da fibra, sua impedância característica será ligeiramente mais alta em comparação com o condutor adjacente, que caiu na lacuna entre as fibras. Se o condutor for direcionado em um ângulo para as fibras, isso leva a uma mudança periódica na impedância característica e efeitos de ressonância em frequências na região de dezenas de GHz. O grau de influência depende muito do tipo de tecido da fibra de vidro (Fig. 4). É por isso que existem materiais especializados para placas de circuito impresso de alta frequência, onde a influência desses efeitos torna-se significativa. Os parâmetros de tais dielétricos têm melhor estabilidade em uma ampla faixa de frequência e são muito mais bem documentados.





No que se refere às perdas (Fig. 5), para a maioria dos casos práticos, o modelo de baixa perda é aplicável, para que as perdas em altas frequências pode ser negligenciada R SER «L, R VAZAMENTO »1/ωC. Esta simplificação tornou possível desenvolver modelos eficientes que permitem cálculos altamente precisos dos parâmetros da linha de sinal usando funções padrão.





As linhas de sinal planar foram inventadas no início dos anos 1950, e modelos matemáticos precisos foram desenvolvidos quase imediatamente para linhas de tiras, e levou várias décadas para criar um modelo de análise de microtira preciso. Harold Wheeler foi um dos primeiros (em 1965) a dar soluções exatas para casos particulares , que generalizou mais tarde (em 1977) . O motivo é a assimetria do dielétrico, que leva a uma distribuição complexa do campo elétrico, que também depende da frequência.



Naturalmente, esse modelo não era o único - e em 1988 havia o suficiente para torná-lo interessante de comparação. Está feitoo grande e terrível Eric Bogatin. Eu encontrei este artigo quando estava escolhendo um modelo de cálculo para uma calculadora. Então cheguei às publicações de Wheeler, onde há muitas páginas de matemática bacana com transformações conformes, e percebi que Bogatin não leu cuidadosamente (ou não leu nada) e rude seu modelo, o que afetou os resultados da comparação. Então, esse erro migrou para o ano de 2007. Ao mesmo tempo, o próprio Bogatin se refere à monografia "Dados de impedância da linha de transmissão de micro-ondas" de um certo M.A.R. Gunstan, mas eu não comecei mais a cavar onde crescem as pernas, reconhecendo o camarada Bogatin como o culpado (a quem, aliás, eu respeito muito, Bogatin é força).



Então, qual é o ponto. Bogatin mediu experimentalmente a capacitância linear de linhas de microfita de várias larguras (a uma frequência de 1 kHz) e comparou-as com os valores calculados (Fig. 6).





Em todos os modelos a partir dos quais estudei as fontes primárias, as relações analíticas para a impedância da onda são fornecidas. A capacidade é calculada usando a seguinte proporção:



onde ε r é a constante dielétrica, c é a velocidade da luz. A assimetria do dielétrico leva ao fato de que é necessário inventar o valor efetivo da constante dielétrica. Bogatin escreve:



No caso de Wheeler [13], nenhum modelo para a constante dielétrica efetiva é oferecido. No entanto, com base na sugestão de Gunsten [6], o gráfico do modelo de Wheeler utiliza a constante dielétrica efetiva do modelo de Schneider.


e usa um modelo híbrido Wheeler-Schneider (resultado em pF / polegada):



De acordo com os resultados do experimento, o modelo dá boa precisão e Bogatin elogia sua bicicleta inventada:



A combinação dos modelos de Wheeler e Schneider está de acordo com os dados publicados anteriormente e os novos dados apresentados aqui em mais de 3 por cento, e está em um formato adequado para uso em uma planilha. Além de ser útil para simulação de computador de projetos específicos, este modelo pode render algumas dicas úteis para adicionar à intuição de engenheiros de fabricação e projeto


Agora vamos nos voltar para a fonte original. As fórmulas que Bogatin usa são fórmulas simplificadas para o caso sem um dielétrico:





e o modelo completo se parece com isto:





aqui, na notação de Wheeler, R é a resistência da onda, k é a constante dielétrica, R 1 = R (k = 1) é a resistência sem um dielétrico, ∆w é a correção de largura levando em conta a espessura do condutor, ∆w 'é a correção levando em consideração a influência do dielétrico. Wheeler usa a notação k 'para a constante dielétrica efetiva e fornece a seguinte fórmula:



o que não é tão simples, é claro, quanto o de Schneider, mas mesmo assim está no modelo. Repeti os cálculos de Bogatin, deixando os modelos mais precisos: Schneider, Wheeler, sua versão híbrida - e adicionei os resultados do cálculo usando a calculadora do Saturn PCB Toolkit e o modelo Hammerstead . Para maior clareza, apresento um gráfico e dados tabulares com um erro em relação aos dados experimentais.









Levando em consideração os erros de medição e a constante dielétrica do material de base (2,2 ± 1%), podemos dizer que todos os modelos se correlacionam bem com os dados experimentais, não é à toa que os pesquisadores ajustaram as fórmulas durante anos. Eu esperava mais precisão do Saturn, já que ele diz diretamente que usa uma fórmula "não simples, mas complexa" e a precisão é comparável ao Sonnet 3D. Além disso, a espessura só pode ser selecionada em onças e é ½ onça. (18 mícrons) ou 1 onça (35 μm) e 1 mil (25,4 μm) não é especificado. Os valores da tabela são para ½ onça, uma vez que estão mais próximos dos dados experimentais obtidos desta forma. Também é óbvio que o modelo original de Wheeler teria sido mais preciso nesta amostra de dados, por isso fiquei aborrecido com ele. Especialmente considerando queque apenas o mesmo modelo de Schneider tem uma séria desvantagem - não leva em conta o efeito da espessura do condutor, que quase não afeta a capacitância, mas é significativo para a indutância e, portanto, a própria resistência de onda. Infelizmente, Bogatin não dá o valor da impedância da onda, então ele usoucalculadora de uma empresa respeitável Rogers. O Saturn desta vez tem 1 onça. deu uma precisão um pouco melhor, a lógica de seu trabalho ainda não está muito clara para mim. O gráfico mostra que conforme a largura diminui (onde o efeito da espessura aumenta), Schneider cai. E Rogers, aparentemente, é baseado no modelo Hammerstead. Eu originalmente fiz isso em Wheeler , mas como a maioria das calculadoras avançadas estão em Hammerstead, será possível mudar para este modelo a fim de acompanhá-los (embora o modelo não tenha uma fórmula explícita para síntese, ao contrário de Wheeler).









Na verdade, nisso considero a justiça restaurada. Wheeler é poder. Até mesmo Bogatin às vezes está errado. Portanto, não confie, verifique e verifique novamente. Use os cálculos para suas linhas de sinal. A propósito. Por favor, compartilhe nos comentários se você usa o cálculo da resistência da onda e, em caso afirmativo, com que ajuda?



PS: Estou trabalhando na calculadora e finalizando o livro , agora minhas mãos alcançaram a versão gratuita - adicionei todas as melhorias e correções que só foram totalmente introduzidas antes. Boa sorte a todos!



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