😢 🧜🏼 🈂️ Geometria complexa da viagem de ida e volta ✍🏻 👩‍👩‍👦‍👦 👩🏼‍🚀

Imagine se a Terra tivesse a forma de um cubo. Como então encontrar o caminho mais curto ao redor do mundo?

Você já se perguntou como seria a vida se a Terra não fosse uma esfera, mas tivesse uma forma diferente? Temos como certo o bom funcionamento do nosso planeta através do sistema solar e os pores do sol lentos que podemos desfrutar graças à simetria rotacional da Terra. Além disso, a esfera esférica da Terra permite que você determine o caminho mais rápido para ir do ponto A ao ponto B: basta caminhar em um círculo que passa por esses dois pontos e corta a esfera ao meio. Usamos esses caminhos mais curtos, chamados de caminhos geodésicos, para planejar rotas de aeronaves e calcular órbitas de satélites.

Mas o que aconteceria se vivêssemos em Cuba? Nosso mundo balançaria mais, os horizontes são curvos e o caminho mais curto do ponto A ao ponto B é mais difícil de encontrar. Você pode não gastar muito tempo imaginando sua vida em um cubo, mas os matemáticos o farão: eles estudam como nossas viagens seriam em uma variedade de formas. E a solução recente para uma das questões fundamentais sobre o dodecaedro geralmente mudou a visão do objeto que está diante de nossos olhos há milhares de anos.

Encontrar o caminho mais curto para a frente e para trás (de um ponto de volta ao mesmo ponto ao redor do cubo) para um determinado corpo geométrico pode parecer uma tarefa simples. Afinal, com certeza você vai voltar para onde começou, certo?

Na verdade, depende da forma ou do corpo em que você está caminhando. Se for uma esfera, sim. (E sim, estamos omitindo o fato de que a Terra não é uma esfera ideal, e sua superfície não é totalmente lisa.) Na esfera, os caminhos se repetem ao longo de uma linha reta "grandes círculos", geodésicos, por exemplo, o equador. Se você contornar o equador, depois de cerca de 40.000 quilômetros, fará um círculo completo e retornará ao ponto de partida.

Em um mundo cúbico, as linhas geodésicas não são tão óbvias. Encontrar um caminho reto em um rosto é fácil porque cada rosto é plano. Mas se você estivesse andando ao redor do mundo cúbico, como continuaria andando reto quando chegasse à borda?

Há um velho e engraçado problema de matemática que ilustra a resposta à nossa pergunta. Imagine uma formiga em um canto de um cubo que quer chegar ao canto oposto. Qual é o caminho mais curto na superfície de um cubo do ponto A ao ponto B?

Imagine os muitos caminhos diferentes que uma formiga pode seguir.

Mas qual é o mais curto? Existe uma maneira engenhosa de resolver o problema. Vamos achatar o cubo!

Se o cubo fosse feito de papel, você poderia cortá-lo nas bordas e achatar a folha para obter esse padrão desdobrado.

Em um mundo tão plano, é fácil encontrar o caminho mais curto de A a B: basta desenhar uma linha reta entre eles.

Para ver qual será a linha geodésica no mundo do cubo, basta colocar o cubo de volta. Aqui está nosso atalho.

“Alinhar” o cubo funciona porque cada face do cubo é plana, então nada fica distorcido quando desdobramos o corpo ao longo das bordas. (Esta tentativa de "desdobrar" a esfera não funcionará, uma vez que não podemos achatar a esfera sem distorcê-la.)

Agora que temos uma ideia de como os caminhos em linha reta se parecem em um cubo, vamos voltar à questão de saber se podemos seguir qualquer caminho reto e terminar de volta ao ponto de partida. Ao contrário de uma esfera, em um cubo, nem todo caminho reto nos leva de volta ao início.

Mas essas rotas de ida e volta são possíveis. Com um truque! Observe que a formiga pode continuar o caminho que indicamos acima e retornar ao ponto de partida. Em um cubo, um círculo completo cria um caminho que se parece mais com um diamante.

Seguindo este caminho (para frente e para trás), a formiga deve passar por outro vértice (ponto B) antes de retornar ao seu ponto de partida. Este é o problema: todo caminho reto que começa e termina no mesmo vértice deve passar por outro vértice do cubo.

Acontece que isso é verdade para quatro dos cinco sólidos platônicos. Em um cubo, tetraedro, octaedro e icosaedro, qualquer caminho reto que começa e termina no mesmo vértice deve passar por algum outro vértice ao longo do caminho. Os matemáticos provaram isso há cinco anos, mas o dodecaedro não estava em sua lista. Voltaremos a isso um pouco mais tarde.

Para entender por que esse fato sobre geodésicas é verdadeiro para quatro dos cinco sólidos platônicos, usaremos o método de tombamento e mudaremos para o mundo tetraédrico, onde esse método pode ser melhor demonstrado.

Imagine começar no topo do tetraedro e caminhar em linha reta ao longo da borda. Posicione o tetraedro de forma que o caminho comece na borda inferior.

Quando encontramos uma aresta, viramos o tetraedro para que nosso caminho continue ao longo da face que fica abaixo:

Essas rotações tornam possível rastrear nosso caminho da mesma forma que faríamos ao desdobrar um cubo:

A trajetória de as rotações acima representam este caminho na superfície do tetraedro:

As cinco voltas do tetraedro correspondem às cinco faces adicionais cruzadas por nossa rota.

Agora podemos imaginar qualquer caminho na superfície do tetraedro como um caminho neste espaço "giratório". Vamos definir nosso ponto de partida A e ver onde ele termina após algumas curvas.

Quando nosso caminho sai do ponto A, o tetraedro cai para o lado oposto. Isso levanta o ponto A do chão.

O vértice A sobe temporariamente em nosso mundo giratório. Normalmente não especificamos a localização do ponto A ao criar nosso espaço rotativo, mas aqui é onde ele poderia aparecer se estivéssemos olhando para baixo.

Conforme nosso caminho continua, o tetraedro cai novamente. Ele pode fazer isso em uma das duas direções possíveis, mas, em qualquer caso, A está novamente na parte inferior.

Quando fazemos o tetraedro cair em todas as direções possíveis, temos uma cambalhota parecida com esta:

Acontece uma espécie de rede devido ao fato de que as faces triangulares equiláteras do tetraedro coincidem entre si.

Esta grade triangular nos diz duas coisas interessantes sobre nosso mundo giratório. Primeiro, todos os pontos nos quais os vértices do tetraedro podem pousar são "pontos da rede" (mostrados no diagrama) ou pontos com coordenadas inteiras. Isso ocorre porque uma unidade em nosso sistema de coordenadas é igual ao comprimento de uma aresta do tetraedro.

Em segundo lugar, veja onde pode terminar A. As

coordenadas de A são sempre pares. Sempre que A está para baixo, ele volta para lá após dois giros, de modo que todos os pontos de aterrissagem possíveis para A são colocados em intervalos de dois comprimentos de costela em cada direção do giro.

Agora vamos ver o que isso diz sobre as linhas geodésicas. Lembre-se de que um caminho em um tetraedro que começa e termina no ponto A será um segmento de linha reta no espaço rotativo, começando no ponto A (0,0) e terminando em outro ponto A. E quando os pontos inicial e final do caminho coincidir no único A, o que estará no meio do caminho?

Mesmo em nosso confuso sistema de coordenadas, a fórmula padrão para calcular o ponto médio de um segmento de linha ainda funciona, então podemos encontrar suas coordenadas com base nas coordenadas dos pontos finais.

Uma vez que ambas as coordenadas do ponto inicial são 0 e ambas as coordenadas do ponto final são pares, as coordenadas do meio são inteiros. Ou seja, o meio será um dos pontos da rede e, como observamos acima, isso significa que corresponde ao vértice do triângulo no espaço giratório.

Por exemplo, o caminho de (0,0) a (4,2) tem um ponto médio (2,1), este é o ponto de rede marcado em nossa grade.

Acontece que na superfície do tetraedro, o caminho de A e de volta deve passar por outro vértice.

Uma vez que todo “pouso” possível para A tem coordenadas pares, o ponto médio de todo caminho geodésico começando e terminando em A corresponderá a um ponto da grade. Isso prova que toda linha geodésica de A a A na superfície do tetraedro deve passar por outro vértice.

Esse raciocínio simples foi elaborado em 2015 pelos matemáticos Diana Davis, Victor Dods, Cynthia Traub e Jed Young.

Eles usaram um método semelhante, mas muito mais complexo, para provar o mesmo para um cubo. No ano seguinte, Dmitry Fuks confirmouresultados para octaedro e icosaedro. Por causa disso, sabemos que para um tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro não há caminhos retos de um vértice de volta a si mesmo que não passem por outro vértice.

Mas a questão da existência de tais caminhos na superfície do dodecaedro permaneceu em aberto até 2019, quando os matemáticos Jayadev Atreya, David Avlikino e Patrick Hooper provaram que isso era de fato possível. Na verdade, eles encontraram infinitos caminhos retos na superfície do dodecaedro que começam e terminam no mesmo vértice sem passar por outros.

Aqui está um deles, retratado em uma varredura do dodecaedro, escondido à vista de todos.

Os sólidos platônicos foram estudados juntos por milhares de anos porque eles têm muito em comum. Mas agora sabemos algo novo sobre o dodecaedro, e isso o distingue claramente de outros corpos.

Esta descoberta misteriosa mostra que não importa o quão bem entendamos objetos matemáticos, sempre há algo para aprender. É importante lembrar que o caminho do problema à solução nem sempre será direto!

Tarefas

1. Se o comprimento da aresta de um cubo é 1, qual é o caminho mais curto para uma formiga de um vértice ao oposto?

2. Explique por que o diagrama abaixo não pode ser um caminho de rotação em um cubo.

3. Uma das dificuldades em "girar" um cubo é que o ponto A não tem uma posição final única associada à posição final do cubo. Por exemplo, mesmo se o cubo estiver no mesmo lugar, girando ao longo de um caminho vermelho ou azul, o ponto A está em posições diferentes. Determine onde A estará após as curvas ao longo da trajetória vermelha e azul.