Alguns problemas matemáticos não têm solução, e isso não é uma coisa ruim



Construa um octógono convexo com quatro ângulos retos.



Provavelmente, o fato de eu dar essas atribuições diz muito sobre mim como professor. Eu vejo os alunos tentando alinhar ângulos retos de forma consistente. Quando eles falham, eles tentam intercalar ângulos retos. Falhando novamente, eles os inserem aleatoriamente no polígono. O barulho de seus cérebros durante o esforço do pensamento é música para os ouvidos do professor.



Então eles ficam desconfiados e começam a fazer perguntas. “Você mencionou ângulos retos. Talvez você realmente quis dizer três cantos? ”,“ Você definitivamente quer dizer um polígono convexo? ”,“ Quatro ângulos retos, na verdade, formam um retângulo. Como podemos obter mais quatro lados no octógono? " Eu escuto com atenção, aceno, confirmando seus palpites.



Finalmente, alguém faz uma pergunta que ninguém se atreveu a fazer, a pergunta que eu estava esperando: "Ei, isso é mesmo possível?"



Essa pergunta tem o poder de mudar a maneira como você pensa em matemática. Aqueles que pensaram estreitamente sobre condições específicas devem agora pensar mais amplamente sobre como essas condições se encaixam. Aqueles que trabalham dentro do sistema devem dar um passo para trás e estudar o próprio sistema. Ao longo da história da matemática, esta pergunta foi feita muitas vezes, foi intrigada por aqueles que resolveram o problema da quadratura do círculo para contornar a cidade de Königsberg . E essa questão nos permite formular o que é matemática e como a entendemos.



Por exemplo, encontrar um octógono com certas propriedades é muito diferente da tarefa de demonstrar que tal octógono não pode existir. Experimentando diferentes octógonos, podemos encontrar um com quatro ângulos retos.









Este não é um exemplo. Na verdade, este octógono não tem quatro ângulos retos.



Mas a sorte não desempenha nenhum papel em provar que tal octógono não pode existir. Requer um conhecimento profundo, não apenas de polígonos, mas da própria matemática. Para explicar a impossibilidade, precisamos entender que simplesmente assumir a existência de um objeto não prova sua existência. Definições, propriedades e teoremas matemáticos vivem sob a pressão de sua interconexão. Ao tentar representar um octógono com quatro ângulos retos, estamos dentro dessas regras inter-relacionadas.



Mas para perceber que um octógono é impossível, precisamos dar um passo para trás e olhar para o quadro geral. Quais princípios matemáticos e geométricos podem ser violados por um octógono com quatro ângulos retos? Um bom lugar para começar aqui é com a soma dos ângulos de um teorema do polígono.



A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados é determinada pela fórmula:



S = ( n - 2) × 180º


Isso aconteceu porque cada polígono com n lados pode ser cortado em ( n - 2) triângulos, a soma dos ângulos internos de cada um deles é 180º.



No caso de um octógono, isso significa que a soma de seus ângulos internos é (8 - 2) × 180º = 6 × 180º = 1080º. Então, se quatro de seus cantos são retos, ou seja, cada um é 90º, então isso é 4 × 90º = 360º dos ângulos totais. Isso significa que 1080º - 360º = 720º permanece para os quatro cantos restantes do octógono.



Isso significa que a média para os quatro cantos restantes deve ser:







720º4=180º







Mas os ângulos internos de um polígono convexo devem ser menores que 180º, o que é impossível. Não pode existir um octógono convexo com quatro ângulos retos.



Provar a impossibilidade desta forma requer dar um passo para trás e ver como várias regras matemáticas, por exemplo, a fórmula para a soma dos ângulos de um polígono e a definição de um polígono convexo, existem em pressão mútua. E uma vez que as provas de impossibilidade dependem de um raciocínio mais amplo sobre um conjunto de regras, muitas vezes existem várias maneiras de construir tal prova.



Vamos voltar à observação anterior de que quatro ângulos retos formam um retângulo.









Cantos externos do polígono.



Se o octógono tivesse quatro ângulos retos, contornando apenas esses cantos, teríamos feito um círculo completo, como se tivéssemos contornado completamente o retângulo. Esse pensamento nos leva a uma regra que fornece mais uma prova de impossibilidade. Sabe-se que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre 360º. Como o canto externo de um ângulo reto também é um ângulo reto, nossos quatro ângulos retos formam os 360º inteiros da soma dos ângulos externos do octógono. Ou seja, o resto dos quatro cantos não tem mais nada, e mais uma vez estabelecemos que tal octógono é impossível.



Provar que algo é impossível é um evento matemático poderoso. Isso muda nosso ponto de vista, vamos da obediência às regras para as regras de controle. E para controlar as regras, primeiro precisamos entendê-las. Devemos saber não só como aplicá-los, mas também situações em que não são aplicáveis. E também encontre situações em que as regras podem entrar em conflito umas com as outras. No processo de estudo do octógono, identificamos a relação de polígonos, convexidade, ângulos retos e somas de ângulos. E isso enfatiza que S = ( n - 2) × 180º não é apenas uma fórmula: é uma das condições no mundo das condições conflitantes.



Provas de impossibilidade podem nos ajudar a entender melhor todas as áreas da matemática. Na escola, as aulas de teoria da probabilidade geralmente começam com o lançamento de muitas moedas imaginárias. Convido os alunos a criarem uma moeda fraudulenta que tende a dar cara ou coroa, que tem a seguinte propriedade: ao lançar uma moeda duas vezes, os resultados dos dois lançamentos têm maior probabilidade de ser diferentes do que os mesmos. Em outras palavras, é mais provável que você jogue cara e coroa do que cara e coroa ou coroa e coroa.



Após experimentação e falhas mentais, os alunos apresentam uma hipótese interessante: resultados diferentes nunca são mais prováveis ​​do que os mesmos. A álgebra revela isso e aponta a simetria subjacente.



Digamos que a moeda esteja enviesada para as caras. Vamos chamar a probabilidade de obter cara12+kOnde 0<k12... O fato de quek>0, garante que cara é mais provável do que coroa com probabilidade 12kuma vez que a soma das duas probabilidades deve ser 1.



Se lançarmos uma moeda duas vezes, a probabilidade de obter duas caras ou duas coroas é







(12+k)2+(12k)2







Aqui, adicionamos a probabilidade de obter duas caras (lado esquerdo) com a probabilidade de obter duas coroas (lado direito). Usando álgebra, podemos simplificar a probabilidade de obter o mesmo resultado em ambos os testes:







(12+k)2+(12k)2=14+k+k2+14k+k2=12+2k2





...

Na medida em quek>0, Nós sabemos isso 12+2k2>12$, o que significa que os lances têm mais probabilidade de ter os mesmos resultados. Na verdade, vemos que mesmok=0 (a moeda não é fraudulenta), a probabilidade dos mesmos resultados é 12, devido ao qual a probabilidade de resultados diferentes de arremessos também é 12... O mesmo resultado nunca será menos provável do que outros.



Como no caso do problema do polígono, vemos pressões matemáticas concorrentes em ação: mudar a probabilidade de acertar um lado da moeda muda a probabilidade de acertar o outro, e essa interconexão controla o espaço de possibilidades para o resultado de dois lançamentos. Expusemos essa pressão tentando realizar o impossível.



Qualquer área da matemática pode estar sujeita a tais pressões. Tente encontrar seis inteiros consecutivos que somam 342 e sua persistência o levará a um entendimento mais profundo da paridade. (O fato de inteiros consecutivos se tornarem ímpares e pares alternadamente afeta como suas somas podem ser.) Encontrar um polinômio cúbico com coeficientes inteiros que tem três raízes não reais ensina a importância dos números complexos conjugados - pares de números complexos, produto e cuja soma é sempre real. E se você tentar inscrever um losango não retangular em um círculo, descobrirá uma propriedade importante dos quadriláteros cíclicos - os cantos opostos de um quadrilátero, cujos vértices estão no círculo, devem somar 180 graus.



Enfrentar o impossível nos permite explorar as fronteiras de nossos mundos matemáticos. O impossível em si é uma espécie de generalização, então seria natural continuar a generalização: um octógono não pode ter quatro ângulos retos, mas e um decágono? Que tal um polígono convexo com n > 4 lados? Perguntas como essas atingem os limites de nossos mundos matemáticos e aprofundam sua compreensão.



Se empurrarmos os limites ainda mais, o impossível pode até inspirar a criação de novos mundos matemáticos. Para provar a impossibilidade de quadratura do círculo(esse problema tem pelo menos dois mil anos), é necessária uma teoria moderna de números transcendentais, que não podem ser as raízes de polinômios inteiros. Para resolver o problema das sete pontes de Königsberg, Euler transformou ilhas e pontes em vértices e arestas, dando origem a vastas áreas da teoria dos grafos e da teoria das redes, bem como muitas de suas aplicações. Tirar a raiz quadrada de -1 levou à criação de um sistema aritmético completamente novo . E o lógico Kurt Gödel mudou a matemática para sempre, provando que é impossível provar que tudo o que é verdade é verdade.



Portanto, da próxima vez que você enfrentar um problema de matemática, pergunte-se: "Isso é possível?" Encarar a impossibilidade pode lhe dar uma compreensão mais profunda do que é possível. Ao fazer isso, você pode até criar novas áreas da matemática.



Exercícios



1. Encontre a área de um triângulo com os comprimentos laterais 46, 85 e 38.



2. Letf(x)=2x3+bx2+cx+d... Encontre esse todob, c e dem qual f(14)=0...



3. Encontre um quadrado completo no qual todos os seus números constituintes pertencem ao conjunto {2, 3, 7, 8}.



Respostas



resposta 1
. , , . : 85 38 46. , - .









- -. !


Resposta 2
. , , , (d) (2).


Resposta 3
, . 0, 1, 4, 5, 6 9. . 2, 3, 7 8, , .





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