Esta semana (16 a 26 de setembro) em São Petersburgo (virtualmente) começou a 61ª Olimpíada Internacional de Matemática , 622 alunos de 114 países participaram dela.
A primeira dessas Olimpíadas foi realizada em 1959 na Romênia, e então representantes de apenas sete países participaram dela.
A Rússia é representada por uma equipe de seis alunos do ensino médio.
Os alunos têm 2 dias de 4,5 horas para resolver 6 problemas. Enquanto os resultados estão sendo avaliados, sugiro que você tente resolver os problemas e discutir nos comentários.
Resultados dos anos anteriores.
Problema 1
Dentro do quadrilátero convexo ABCD, existe um ponto P tal que as igualdades
∠PAD: ∠PBA: ∠DPA = 1: 2: 3 = ∠CBP: ∠BAP: ∠BPC hold.
Prove que as seguintes três linhas retas se cruzam em um ponto: as bissetoras internas dos ângulos ∠ADP e ∠PCB e o ponto médio perpendicular ao segmento AB.
Problema 2
Dados os números reais a, b, c, d tais que a> b> c> d> 0 e a + b + c + d = 1.
Prove que
(a + 2b + 3c + 4d) a a b b c c d d <1.
Problema 3
Existem 4n seixos com massas 1, 2, 3, ..., 4n . Cada uma das pedras é pintada em uma de n cores, e há 4 pedras de cada cor.
Prove que as pedras podem ser divididas em duas pilhas de peso total igual, de modo que cada pilha contenha duas pedras de cada cor.
Problema 4
Um inteiro n> 1 é fornecido . Há n 2 estações funicular na encosta da montanha em diferentes alturas. Cada uma das duas empresas de funiculares A e B possui k elevadores. Cada ascensor realiza uma transferência direta regular de uma das estações para outra estação superior. As k transferências da empresa A começam em k estações diferentes; também terminam em k estações diferentes; com uma transferência que começa acima e termina acima. As mesmas condições são atendidas para a empresa B. Diremos que duas estações estão conectadasempresa funicular, se puder ir da estação inferior para a superior utilizando um ou mais transbordos desta empresa (são proibidos outros transbordos entre estações). Encontre o menor k para o qual há duas estações conectadas pelas duas empresas.
Problema 5
Existem n> 1 cartas, cada uma contendo um número inteiro positivo.
Descobriu-se que, para quaisquer duas cartas, a média aritmética dos números escritos nelas é igual à média geométrica dos números escritos nas cartas de um determinado conjunto consistindo de uma ou mais cartas. Para qual n segue-se que todos os números escritos nas cartas são iguais?
Problema 6
Prove que existe uma constante positiva c para a qual a seguinte afirmação é válida:
Seja S um conjunto de n> 1 pontos do plano em que a distância entre quaisquer dois pontos é pelo menos 1. Então há uma linha ℓ separando o conjunto S tal que a distância de qualquer os pontos S a ℓ são pelo menos cn −1/3 .
(A linha reta ℓ separa o conjunto de pontos S se cruza algum segmento cujas extremidades pertencem a S.)
Observação. Resultados mais fracos com cn −1/3 substituído por cn −α podem ser estimados dependendo do valor da constante α> 1/3 .