Por milhares de anos, os matemáticos se interessaram pela questão da existência de números perfeitos ímpares. No processo de estudá-lo, eles compilaram uma lista incrível de restrições para esses objetos hipotéticos. Mas novas ideias sobre esse assunto podem surgir devido ao estudo de outros objetos próximos a eles.

Se existirem números perfeitos ímpares, eles terão que satisfazer uma lista absurdamente longa de restrições.
Como um estudante do ensino médio, Pace Nielsen enfrentou uma questão de matemática em meados dos anos 90 com a qual ainda luta até hoje. Mas ele não fica chateado: o problema que o fascinava, a hipótese dos números perfeitos ímpares, permaneceu em aberto por mais de 2.000 anos, tornando-se um dos mais antigos problemas não resolvidos da matemática.
Parte desse charme de longa duração vem da simplicidade das palavras. Um número é denominado perfeito se for um inteiro positivo, n, cujos divisores somam duas vezes o número, 2n. O primeiro e mais simples exemplo é 6, cujos divisores 1, 2, 3 e 6 somam 12 ou 2 * 6. Em seguida, vem 28, com divisores de 1, 2, 4, 7, 14 e 28, dando um total de 56. Os próximos exemplos são 496 e 8128.
Leonard Euler formalizou essa definição no século 18, introduzindo sua função sigma, que denota a soma dos divisores de um número. Assim, para números perfeitos, σ (n) = 2n.

Leonard Euler formulou muitas regras formais com relação ao trabalho com números perfeitos
, mas Pitágoras já conhecia os números perfeitos em 500 aC e, dois séculos depois, Euclides derivou uma fórmula para obter números perfeitos pares. Ele mostrou que se p e 2 p - 1 são números primos (divisores dos quais são apenas 1 e este próprio número), então 2 p - 1 * (2 p - 1) será um número perfeito. Por exemplo, se p = 2, a fórmula resulta em 2 1 * (2 2 - 1) ou 6. Se p = 3, a fórmula resulta em 2 2 * (23 - 1), ou 28 - os dois primeiros números perfeitos. 2.000 anos depois, Euler provou que essa fórmula produz todos os números perfeitos pares, embora ainda não se saiba se o conjunto de números perfeitos é finito ou infinito.
Nielsen, agora professor da Universidade Brigham Young, empolgou-se com uma pergunta relacionada: Os números perfeitos ímpares existem? O matemático grego Nicômaco de Gerasa por volta de 100 DC afirmou que todos os números perfeitos devem ser pares, mas ninguém provou essa afirmação.
Como muitos de seus colegas do século 21, Nielsen acredita que não existem muitos números perfeitos. E, junto com eles, acredita que a comprovação dessa hipótese não será obtida em breve. No entanto, em junho ele encontrouuma nova abordagem para esta tarefa, talvez capaz de levá-la mais longe. E está associado ao objeto mais próximo dos números perfeitos ímpares de todos os até agora descobertos.
Reduzindo a teia
Nielsen aprendeu sobre números perfeitos pela primeira vez em uma competição de matemática na escola. Ele se aprofundou na literatura e topou com o trabalho de 1974 de Karl Pomeranz , um matemático que agora trabalha no Dartmouth College. Ele provou que qualquer número perfeito ímpar deve ter pelo menos sete fatores primos diferentes.
“Eu, na minha ingenuidade, decidi que posso fazer algo nesta área, se o progresso for possível”, disse Nielsen. "Isso me inspirou a estudar a teoria dos números na faculdade e tentar fazer progressos." Seu primeiro trabalho sobre números perfeitos ímpares, publicado em 2003, impôs restrições adicionais a esses números hipotéticos. Ele mostrouque não apenas o número de números perfeitos ímpares com k divisores primos diferentes é finito, como Leonard Dixon provou em 1913, mas também que o tamanho desse número não deve exceder 2 4 k .
E esta não foi a primeira nem a última limitação imposta a números perfeitos ímpares hipotéticos. Por exemplo, em 1888, James Sylvester provou que um número perfeito ímpar não pode ser divisível por 105. Em 1960, Carl K. Norton provou que se um número perfeito ímpar não é divisível por 3, 5 ou 7, ele deve ter pelo menos 27 fatores principais. Paul Jenkins em 2003 provouQue o maior divisor primo do número perfeito ímpar deve ser maior que 10.000.000. Pascal ochem e Mihaol Rao descobriram que o número perfeito ímpar deve ser maior que 10 1.500 e, em seguida, empurraram o limite para 10 2.000 . Nielsen mostrou em 2015 que um número perfeito ímpar deve ter pelo menos 10 divisores primos diferentes.

Pace Nielsen, matemático da Universidade Brigham Young
Mesmo no século 19, o número de restrições era tal que Sylvester concluiu que "o surgimento de um número perfeito ímpar - uma espécie de fuga da complexa rede de condições que o cercam por todos os lados - seria quase um milagre." Depois de mais de cem anos de desenvolvimentos semelhantes, a existência de tais números levanta ainda mais dúvidas.
“Provar a existência de algo é fácil se você puder encontrar apenas um exemplo”, disse Jon Voight , professor de matemática em Dartmouth. "Mas provar que algo não existe pode ser muito difícil."
A abordagem principal até agora tem sido comparar todas as condições que limitam os números perfeitos ímpares para descobrir se algum par deles é incompatível - isto é, se nenhum número pode satisfazer ambas as restrições ao mesmo tempo. “A colcha de retalhos de condições que obtivemos até agora torna os números ímpares perfeitos extremamente improváveis”, disse Voight, ecoando Sylvester. "E a Pace vem adicionando novos itens a essa lista há muitos anos."
Infelizmente, nenhuma propriedade incompatível foi encontrada. Portanto, além de restrições adicionais aos números perfeitos ímpares, os matemáticos provavelmente precisarão de novas estratégias.
Para tanto, Nielsen já está considerando um novo plano de ataque baseado em uma tática comum dos matemáticos: o estudo de muitos números por meio do estudo de seus parentes próximos. Na ausência de números perfeitos ímpares adequados para estudo direto, ele e a equipe estudam "imitações" de números perfeitos ímpares, que são muito semelhantes aos reais, mas têm algumas diferenças interessantes.
Compreender números perfeitos
- . σ(n) = 2n, .
:
σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, 20 – .
σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, 28 – .
1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) , , a b – .
2. σ(pa) = 1 + p + p2 + … + pa p a.
:
σ(20) = σ(22 × 5) = σ(22) × σ(5) [ ] = (1 + 2 + 22)(1+5) [ ] = 42
σ (28) = σ (2 2 × 7) = σ (2 2 ) × σ (7) [pela primeira regra] = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 7) [pela segunda regra] = 56
Novas saudades sedutoras
A primeira imitação de um número perfeito ímpar foi encontrada em 1638 por René Descartes - e ele foi um dos primeiros matemáticos de destaque a considerar possível a existência de números perfeitos ímpares. “Acredito que Descartes estava tentando encontrar números perfeitos ímpares, e seus cálculos o levaram à primeira imitação”, disse William Banks , um teórico dos números da Universidade de Missouri. Aparentemente, Descartes esperava que o número que ele criou pudesse ser alterado para obter um número perfeito ímpar real.
Mas antes de mergulhar na imitação cartesiana, é útil entender um pouco sobre como os matemáticos descrevem os números perfeitos. O teorema do tempo de Euclides afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser expresso como um produto de números primos elevados a certas potências. Por exemplo, 1260 pode ser fatorado assim: 1260 = 2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 e não listar todos os 36 fatores separadamente.
Assim que um número assume esta forma, fica muito mais fácil calcular a função sigma de Euler que soma seus divisores, graças a duas fórmulas que Euler também provou. Primeiro, ele demonstrou que σ (a × b) = σ (a) × σ (b) se e somente se aeb forem coprimos - isto é, eles não têm divisores primos comuns. Por exemplo, os números 14 (2 × 7) e 15 (3 × 5) são relativamente primos. Em segundo lugar, ele mostrou que para qualquer número primo p em uma potência inteira positiva a, σ (p a ) = 1 + p + p 2 +… + p a .
Voltando ao nosso exemplo anterior, σ (1 260) = σ (2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 ) = σ (2 2 ) × σ (3 2) × σ (5 1 ) × σ (7 1 ) = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 3 + 3 2 ) (1 + 5) (1 + 7) = 4 368. Observe que neste caso σ (n) não é igual a 2n, o que significa que 1260 não é um número perfeito.

René Descartes encontrou a primeira imitação de um número perfeito.
Agora podemos analisar a imitação cartesiana - o número 198 585 576 189, ou 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22 021 1 . Repetindo os cálculos acima, descobrimos que σ (198 585 576 189) = σ (3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22,021 1 ) = (1 + 3 + 32 ) (1 + 7 + 7 2 ) (1 + 11 + 11 2 ) (1 + 13 + 13 2 ) (1 + 22,021 1 ) = 397 171 152 378. E isso é igual a duas vezes o número original, o que significa que deve ser um número perfeito real - apenas o número 22.021 não é primo.
Portanto, este número de Descartes é uma imitação. Se fingirmos que 22.021 é primo e aplicarmos as regras de Euler à função sigma, o número de Descartes se comportará como um número perfeito. No entanto, 22 021 é na verdade o produto de 19 2 e 61. Se pudéssemos escrever o número de Descartes corretamente como 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 19 2 × 61 1, então σ (n) não seria igual a 2n. Relaxando algumas das regras, obtemos um número que parece satisfazer nossos requisitos - essa é a essência da imitação.
Demorou 361 anos para descobrir o segundo número de imitação de um número perfeito ímpar. Voight fez isso em 1999 e publicou a descoberta quatro anos depois. Por que tão demorado? “Encontrar um número de imitação é como encontrar um número perfeito ímpar; ambos são aritmeticamente complexos ”, disse Banks. E sua busca não era uma prioridade para os matemáticos. No entanto, Voight foi inspirado por um trecho de Unsolved Problems in Number Theory de Richard Guy, que escreveu sobre a busca por novas imitações. Voight tentou e acabou encontrando uma nova imitação, 3 4 × 7 2 × 11 2 × 19 2× (−127) 1 ou −22 017 975 903.
Ao contrário do exemplo de Descartes, aqui todos os divisores são primos, mas um deles é negativo - portanto, este número é uma imitação, não um número perfeito ímpar verdadeiro.
Simule números perfeitos ímpares
:
198 585 576 189, 32 × 72 × 112 × 132 × 22 0211.
-: σ(198 585 576 189) = σ(32 × 72 × 112 × 132 × 22,0211) = (1 + 3 + 32)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 13 + 132)(1 + 22,0211) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.
22 021 , 192 × 61. .
:
−22 017 975 903, 34 × 72 × 112 × 192 × (−127)1.
-: σ(−22 017 975 903) = σ(34 × 74 × 112 × 192 × (-127)1) = (1 + 3 + 32 + 33 + 34)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 19 + 192)(1 + (-127)1) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903
-127 – , – .
Depois que Voight realizou um seminário na Brigham Young University em dezembro de 2016, ele conversou sobre esse número com Nielsen, Jenkins e outros. Pouco tempo depois, a equipe da universidade iniciou uma busca computacional sistemática por outras imitações. Eles escolheriam as menores bases e expoentes, como 3 2 , e então os computadores combinariam variantes de bases e expoentes adicionais que simulariam um número perfeito. Nielsen decidiu que este projeto seria simplesmente uma experiência de pesquisa estimulante para seus alunos, mas os resultados da análise superaram suas expectativas.
Analisando as possibilidades
Depois de operar 20 processadores continuamente por três anos, a equipe descobriu todas as imitações possíveis de um número perfeito que poderia ser escrito usando seis bases ou menos - 21 no total, incluindo exemplos de Descartes e Voight - e mais duas simulações com sete divisores. A pesquisa de simulações com um grande número de divisores em computadores era impraticável e demorada. No entanto, o grupo coletou exemplos suficientes para descobrir propriedades de imitações até então desconhecidas.
O grupo descobriu que, para qualquer número de bases k, há um número finito de simulações, que coincide com o resultado de Dixon de 1913 para números perfeitos ímpares verdadeiros. “Porém, se k vai para o infinito, o número de imitações também se torna infinito”, disse Nielsen. Isso foi inesperado, ele acrescentou, dado que ao iniciar este projeto, ele não tinha certeza de descobrir uma única nova imitação ímpar, muito menos mostrar que seu número é infinito.
Outra surpresa decorrente de um resultado provado pela primeira vez por Euler: todas as bases primos de um número perfeito ímpar, exceto um, devem ter graus pares. Deve-se ter um grau ímpar - isso é chamado de grau de Euler. A maioria dos matemáticos acredita que o grau de Euler para números perfeitos ímpares é sempre 1, mas a equipe mostrou que as simulações podem ter o tamanho que quiserem.
A equipe encontrou algumas das conclusões ao afrouxar os requisitos na definição de imitação, uma vez que não existem regras matemáticas claras para descrevê-los - apenas que eles devem satisfazer a igualdade σ (n) = 2n. Os pesquisadores admitiram a existência de bases não-primos (como no exemplo de Descartes) e bases negativas (como no exemplo de Voight). No entanto, eles foram além, permitindo que as imitações tivessem várias das mesmas bases. Um radical, por exemplo, pode ser 7 2 e o outro 7 3 , e eles são escritos separadamente, e não como 7 5 . Ou eles deixam as razões se repetirem, como na imitação 3 2 × 7 2 × 7 2 × 13 1 × (−19) 2... O termo 7 2 × 7 2 pode ser escrito como 7 4 , mas a simulação irá falhar, porque a expansão dos parênteses na função sigma modificada seria diferente.
Dada a diferença significativa entre imitações e números perfeitos ímpares reais, pode-se fazer a seguinte pergunta: como os primeiros ajudam a encontrar os segundos?
O caminho a seguir?
Nielsen disse que as imitações são generalizações de números perfeitos ímpares. Os números perfeitos ímpares são um subconjunto dentro de uma família maior, que inclui imitações, portanto, os números perfeitos ímpares devem ter todas as propriedades das imitações, bem como restrições adicionais e ainda mais rigorosas (como, por exemplo, a condição de que todos os motivos devem ser simples) ...
“Qualquer comportamento do conjunto maior deve ser seguido para o subconjunto menor”, disse Nielsen. "Portanto, se encontrarmos um comportamento de imitação que não se aplica a uma classe mais limitada, podemos descartar automaticamente a possibilidade de números perfeitos ímpares." Se, por exemplo, for possível demonstrar que todas as simulações são divisíveis por 105 - o que é impossível para números perfeitos ímpares, como Sylvester mostrou em 1888 - então o problema estará resolvido.
Até agora, porém, eles não tiveram sucesso. "Descobrimos novos fatos sobre as imitações, mas nenhum deles nega a existência de números perfeitos ímpares", disse Nielsen, "embora essa possibilidade ainda permaneça." Analisando ainda mais as imitações atualmente conhecidas e, possivelmente, complementando sua lista no futuro, Nielsen (e ambas as direções estão se desenvolvendo graças a ele) e outros matemáticos podem descobrir novas propriedades de imitações.
Banks acha que essa abordagem vale a pena. “Explorar imitações ímpares pode ser útil para entender a estrutura de números perfeitos ímpares, se houver”, disse ele. "E se não houver números perfeitos ímpares, estudar imitações ímpares pode levar à prova disso."
Outros especialistas em números ímpares perfeitos não são tão otimistas. A equipe da Brigham Young University “fez um ótimo trabalho”, disse Voight, “mas não tenho certeza se estamos perto de atacar o problema do número perfeito ímpar. Esta é realmente uma tarefa para todos os tempos, e é provável que continue assim. "
Paul Pollack , um matemático da Universidade da Geórgia, também é cauteloso: “Seria legal se pudéssemos olhar a lista de imitações e ver algumas de suas propriedades e de alguma forma provar que não existem números perfeitos ímpares com essa propriedade. Seria um sonho, mas parece bom demais para ser verdade. "
Nielsen concordou que havia pouca chance de sucesso, mas para resolver esse problema antigo, os matemáticos devem tentar de tudo. Além disso, o estudo das imitações está apenas começando. Seu grupo deu alguns passos iniciais e já descobriu propriedades inesperadas desses números. Portanto, ele está otimista quanto à possibilidade de descobrir "estruturas ocultas" adicionais dentro das imitações.
Nielsen já identificou uma tática plausível baseada no fato de que todas as imitações encontradas até hoje, exceto o exemplo original de Descartes, têm pelo menos uma base negativa. Se provarmos que todas as outras imitações devem ter uma base negativa, isso prova que não existem números perfeitos ímpares, uma vez que, por definição, suas bases devem ser simples e positivas.
“Esta parece ser uma tarefa mais difícil”, disse Nielsen, ao abordar uma categoria maior e mais geral de números. "Mas às vezes, quando você transforma um problema em outro aparentemente mais difícil, pode ver o caminho para a solução."
Na teoria dos números, é preciso paciência - às vezes, a pergunta é fácil de fazer, mas difícil de responder. “Você tem que pensar na tarefa, às vezes por muito tempo, e prestar atenção especial a ela”, disse Nielsen. - Estamos avançando. Estamos cavando uma mina. Esperamos que, se cavarmos por tempo suficiente, possamos encontrar um diamante. "