🍎 💐 🙍 Que tipo de besta são as transformações afins? 🤙🏼 🐎 🕸️

Provavelmente, cada um de vocês já ouviu o termo “transformações afins” pelo menos uma vez na vida. De fato, todo mundo está constantemente falando sobre eles: "invariância para transformações afins", "aumento usando transformações afins", "transformações afins em computação gráfica" e assim por diante. No entanto, nem todos podem responder imediatamente a uma pergunta simples: "Diga-nos o que são transformações afins em palavras simples."

Você pode? De qualquer forma, vamos discutir um pouco esse assunto.

O que é transformação afim?

Vamos começar com os clássicos - definição da Wikipedia.

A transformação afim (do latim affinis "tocar, fechar, adjacente") é um mapeamento de um plano ou espaço em si mesmo, no qual linhas paralelas passam em linhas paralelas, linhas se cruzam em linhas se cruzam, linhas cruzadas em linhas se cruzam.

Vamos esclarecer um pouco.

Primeiro, o que significa “auto-mapeamento” ? Isso significa que se estivéssemos no espaço R ^ n , depois da educação, devemos permanecer nele. Por exemplo: se aplicado algum tipo de transformação para um retângulo e tem um paralelepípedo, então saímos R ^ 2 em R ^ 3 . Mas se obtivermos outro retângulo do retângulo, então está tudo bem, mapeamos o espaço original em nós mesmos. Formalmente, é descrito da seguinte maneira: "a transformação mapeia o espaço R ^ n para R ^ n ". Se for escrito usando fórmulas $f: R ^ n \ rightarrow R ^ n$ .

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. - . x ' y ' :

$\begin{cases} x' = \alpha x + \beta y + \lambda \\ y' = \gamma x + \delta y + \mu \end{cases}$

, $\alpha, \beta, \gamma, \mu$ :

$\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$

: , , ..

$\begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix} \neq 0$

$f: R^n \rightarrow R^n$ - f(x) = Mx +v , - , $v \in R^n$ . , , - .

, . .

- $\alpha, \beta, \gamma, \mu, \delta, \lambda$ ? .

$\alpha = cos(\alpha), \beta = sin(\alpha), \gamma = -sin(\alpha), \delta = cos(\alpha), \lambda = \mu = 0$ .

, :

$\begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x' = xcos\alpha + y sin\alpha \\ y' = -xsin\alpha + y cos\alpha \end{cases}$

? , - $\alpha$ . .. . .

-

$\begin{pmatrix} 1/k_x & 0 \\ 0 & 1/k_y \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x' = x/k_x \\ y' = y/k_y \end{cases}$

, , , 1 , 1. .

, k_x -1, k_y 1. ? , .

(.. $\alpha = \delta = 1 ,beta = \gamma = 0$ ). $\lambda$ -dx , $\mu = -dy$ .

, :

$\ begin {cases} x '= x - dx \\ y' = y - dy \ end {cases}$

, (dx, dy) . , , .

Este breve artigo permitirá que você sinta um pouco mais fortemente o "interior" das transformações afins (esperamos que sim). Depois de lê-lo, tente responder à pergunta que colocamos no início - "Diga-nos o que são transformações afins em palavras simples." Voce pode agora?

PS A propósito, seria bom não acreditar em nossa palavra e verificar nós mesmos - e as matrizes que usamos são definitivamente não degeneradas? Talvez tenhamos feito algo ilegal? ...

Que tipo de besta são as transformações afins?

O que é transformação afim?

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