Uma explicação intuitiva da integral. Parte I - da multiplicação dos números naturais para Newton e Leibniz

0. Prefácio

A matemática é um ramo do conhecimento versátil, poderoso e elegante. Na verdade, seu assunto e significado não podem ser compartilhados com as seções mais fundamentais da filosofia - lógica, ontologia e teoria do conhecimento. É por isso que diz respeito direta ou indiretamente a todos os aspectos de qualquer conhecimento aplicado ou teórico.





Infelizmente, aconteceu que para muitos (e para mim) às vezes parece uma ciência muito complicada e inacessível para a elite. Enquanto isso, parece que sim! Claro, requer esforço intelectual, memória, imaginação e muito mais, como muitas outras atividades intelectuais.





Suas características distintivas são:





  1. uso de um sistema de sinalização especial (números, letras de diferentes alfabetos, regras de linguagem, etc.),





  2. rigor lógico (conceitos, definições, julgamentos, regras de inferência são definidos de forma explícita e precisa),





  3. sequência (você não entenderá o ponto 3 se não entender os pontos 1 e 2),





  4. alta densidade de informações por unidade de texto (muitas vezes há muito mais sentido no texto do que em textos de outro conteúdo).





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Cumulativo \ soma \ aprox S (x) \ aprox S_1 (\ Delta x_1) + S_2 (\ Delta x_2) +… + S_n (\ Delta x_n) \ quad (ii.1)

uma b a = x_0 b = x_n.





, x ( — n - )





\ lim_ {n \ rightarrow + \ infty} S (x) = S_1 (\ Delta x_1) + S_2 (\ Delta x_2) +… + S_n (\ Delta x_n) \ quad (ii.2)

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  • ( , x_1 f (x_1), x_2 f (x_2)





  • . ( ). ( , — f (x) = 3x + 2, f (x) = 3x ^ 2 + x + 10 ..).





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v (t) = S '(t) = \ lim_ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta S} {\ Delta t} \ quad (iv. 1)

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dif \ quad S (t) \ rightarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 2) int \ quad S (t) \ leftarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 3)





.





int \ quad F (t) \ leftarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 4)

, , () (), [8].





, uma b, — ,





\ Integral \ sum = F (b) - F (a) \ quad (iv. 5)

, ,





\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ quad (iv. 6)

[1]. .. . — .: , 1974. . 4





[2]. , , .





[3]. , , .





[4]. 3,5 · 2 + 3,5 · 0,2 = 3,5 (2 + 0,1) = 3,5 · 2,1





[5]. f , , z (x), função (x), Delta (x)— . f , — , .





[6]. - — x , - x_1, x_2, ..., x_n A (x) f (x) . , , f (x) A (x), A (x) = f '(x) F '(x) = f (x).





[7]. Isso é F (x_1) \ neq F '(x_1). Por exemplo, suponha que uma função seja fornecida por uma expressão F '(x) = 2x + 3. Então, quando x_2 = 2,  F '(x_2) = 9e valor F (x_2) = 18. Sim F '(x) = 0x + 3. Então, quando x_2 = 2, F '(x_2) = 3e valor F (x_2) = 6.





[8]. Que haja um ponto, o número 7 e 10, para encontrar o tamanho do intervalo entre esses valores, você precisa encontrar a diferença, ou seja, 10 - 7 = 3.








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