Existe um fato tão misterioso sobre as transformações lineares: algumas delas, nomeadamente escalonamento não uniforme e translação, por alguma razão distinguem entre vetores "comuns" e normais. Quando transformamos um vetor "normal" por uma matriz, então os normais, por algum motivo, precisam ser transformados por uma matriz inversa transposta. Como entender isso?

Com a ajuda de cálculos simples, você pode ter certeza de que a matriz transposta inversa preserva a perpendicularidade das normais aos seus planos tangentes. Até certo ponto, essa prova é suficiente, mas perde uma história mais profunda e interessante sobre a geometria por trás de tudo. Essa é a história que quero contar nos próximos artigos.

Unidades e escala

Aqui está um rápido resumo antes de entrarmos no cerne do artigo. Considere o bom e velho escalonamento uniforme (um fator em todos os eixos). É difícil pensar em uma transformação mais inócua - é apenas a multiplicação de todos os vetores pelo mesmo número.

Mas, olhando mais de perto, algo não totalmente trivial está acontecendo aqui. Certas quantidades trazem consigo "dimensões" ou "unidades" físicas, como comprimentos, áreas e volumes. Ao escalar, esses valores mudam de acordo com suas unidades. Alguns valores são geralmente "adimensionais" e não mudam quando escalados.

Como exemplo, vamos listar todos os comportamentos possíveis das unidades ao dimensionar no espaço 3D. Denotamos o fator de escala como $a>0$ ... Então:

Os números adimensionais não mudam, ou seja, são multiplicados por $a^0$ ...
Os comprimentos são multiplicados por $a$ ...
As áreas são multiplicadas por $a^2$ ...
Os volumes são multiplicados por $a^3$ .

: , :
$1\over{a}$ .
$1\over{a^2}$ .
$1\over{a^3}$ .

, , . 3D- , , , .

, ( ) , : , ( ), , - . , -3 3. , $k$ - , $a^k$ .

( $\pm 4$ , . , 3D.)

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, . , . , Geometric Algebra for Computer Science. .

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́ , . , $k$ - . .

$k$ -

, . $v=(x, y, z)$ , , $v$ :

v = x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}

$v=x{\bf e_x}+y{\bf e_y}+z{\bf e_z}$

${\bf e_x}$ , ${\bf e_y}$ , ${\bf e_z}$ , $y$ , $z$ . $B$ :

B = p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}

$B=p{\bf e_{yz}}+q{\bf e_{zx}}+r{\bf e_{xy}}$

${\bf e_{xy}}$ — , $xy$ . ${\bf e_{yz}}$ ${\bf e_{zx}}$ . , , . " " $(p, q, r)$ , .

:

T = t e_{x y z}

$T=t{\bf e_{xyz}}$

, 3D , : "" $(xyz)$ . — ${\bf e_{xyz}}$ .

, : ( 1), ( 2) ( 3). 0. , , , $\wedge$ . , , :

e_{x} \land e_{y} = e_{x y}

${\bf e_x}\wedge{\bf e_y} = {\bf e_{xy}}$

, , . , ( ).

, "" . , , . , .

, , .

e_{x} \land e_{y} \land e_{z} = e_{x y} \land e_{z} = e_{x y z}

${\bf e_x}\wedge{\bf e_y}\wedge{\bf e_z} = {\bf e_{xy}}\wedge{\bf e_z}={\bf e_{xyz}}$

" ", , , .

, . . $a$ :

(a u) \land v = u \land (a v) = a (u \land v)

$(au)\wedge v=u\wedge (av) = a(u\wedge v)$

, . $u, v$ :

u \land v = - (v \land u)

$u\wedge v=-(v\wedge u)$

. -, : $v\wedge v=0$ . , . , $u\wedge v=0$ $u$ $v$ . , $u\wedge v\wedge w=0$ $u, v, w$ .

3 . , .

$k$ -

, , — , — . ?

, , - . $a>0$ , $a, a^2, a^3$ . , , .

, :

v \mapsto M v

$v\mapsto Mv$

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} a x \\ a y \\ . a z \end{matrix}] = a v

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ ay \\. az \end{bmatrix} = av$

$v$ , $x, y, z$ , , $a$ , , .

? ( ), . . , , :

\begin{aligned} B & = u \land v \\ (u \land v) & \mapsto (M u) \land (M v) \\ = (a u) \land (a v) \\ = a^{2} (u \land v) \\ = a^{2} B \end{aligned}

$\begin{aligned} B &= u \wedge v \\ (u \wedge v) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \\ &= (au) \wedge (av) \\ &= a^2 (u \wedge v) \\ &= a^2 B \end{aligned}$

! , $a$ , $a^2$ , .

, . , - $a^3$ . :

\begin{aligned} T & = (u \land v \land w) \\ (u \land v \land w) & \mapsto (M u) \land (M v) \land (M w) \\ = (a u) \land (a v) \land (a w) \\ = a^{3} (u \land v \land w) \\ = a^{3} T \end{aligned}

$\begin{aligned} T &= (u \wedge v \wedge w) \\ (u \wedge v \wedge w) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \wedge (Mw) \\ &= (au) \wedge (av) \wedge (aw) \\ &= a^3 (u \wedge v \wedge w) \\ &= a^3 T \end{aligned}$

. , ?

, . 3 $x$ , . :

M = [\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

: $x$ 3, $y, z$ . , : , $x$ , $yz$ — .

? . , "" . $x$ , . : , $yz$ , , , $x$ , .

, . , , :

B = p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}

$B = p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}$

$M$ , . $M$ :

\begin{aligned} e_{y z} = e_{y} \land e_{z} & \mapsto (M e_{y}) \land (M e_{z}) = e_{y} \land e_{z} = e_{y z} \\ e_{z x} = e_{z} \land e_{x} & \mapsto (M e_{z}) \land (M e_{x}) = e_{z} \land 3 e_{x} = 3 e_{z x} \\ e_{x y} = e_{x} \land e_{y} & \mapsto (M e_{x}) \land (M e_{y}) = 3 e_{x} \land e_{y} = 3 e_{x y} \end{aligned}

$\begin{aligned} {\bf e_{yz}} = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_y}) \wedge (M{\bf e_z}) = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} = {\bf e_{yz}} \\ {\bf e_{zx}} = {\bf e_z} \wedge {\bf e_x} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_z}) \wedge (M{\bf e_x}) = {\bf e_z} \wedge 3{\bf e_x} = 3{\bf e_{zx}} \\ {\bf e_{xy}} = {\bf e_x} \wedge {\bf e_y} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_x}) \wedge (M{\bf e_y}) = 3{\bf e_x} \wedge {\bf e_y} = 3{\bf e_{xy}} \end{aligned}$

: $\bf e_{yz}$ , $\bf e_{zx}$ $\bf e_{xy}$ 3, $x$ .

, $M$ $B$ :

B \mapsto p e_{y z} + 3 q e_{z x} + 3 r e_{x y}

$B \mapsto p \, {\bf e_{yz}} + 3q \, {\bf e_{zx}} + 3r \, {\bf e_{xy}}$

, , $B$ , :

[\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}] = [\begin{matrix} p \\ 3 q \\ 3 r \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ 3q \\ 3r \end{bmatrix}$

, , . : $M$ .

: $M$ :

M^{- T} = [\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M^{-T} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

, — $M$ .

$\det M$ . ( $M$ , $\det M$ ). $M$ . , , !

— , . .

$n\times n$ . $i$ - $j$ - :

$n\times n$ $i$ $j$ . $(n-1)\times (n-1)$ .
.
$(-1)^{i+j}$ , $i+j$ . !

$n\times n$ , .

, ? $p \, {\bf e_{yz}}$ . $yz$ , , $M$ $y$ $z$ . $1,1$ $M$ $2\times2$ , $M$ $y$ $z$ . , , $yz$ !

- , ${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ , , $M$ . , , $M$ . , , .

( , . ${\bf e_{xz}}$ ${\bf e_{zx}}$ . .)

, , $n$ $(n-1)$ - . , $k$ - $(n-k)$ - , $n-k$ .

. . : 3D. , $(p, q, r)$ — $(x, y, z)$ !

. , . , $B$ :

B \land v = 0

$B\wedge v=0$

$v$ , $B$ , . , , , $B$ $v$ .

\begin{matrix} (p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}) \land (x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}) = 0 \\ (p x e_{y z x} + q y e_{z x y} + r z e_{x y z}) = 0 \\ (p x + q y + r z) e_{x y z} = 0 \\ p x + q y + r z = 0 \end{matrix}

$\begin{gathered} (p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}) \wedge (x \, {\bf e_x} + y \, {\bf e_y} + z \, {\bf e_z}) = 0 \\ (px \, {\bf e_{yzx}} + qy \, {\bf e_{zxy}} + rz \, {\bf e_{xyz}}) = 0 \\ (px + qy + rz) {\bf e_{xyz}} = 0 \\ px + qy + rz = 0 \\ \end{gathered}$

. , , (, ${\bf e_{yz}} \wedge {\bf e_y} = 0$ ). $\bf e_{xyz}$ , , . . , $\bf e_{xyz}$ .

$(p, q, r)$ $(x, y, z)$ ! , $n\cdot v = 0$ $n=(p, q, r)$ .

, $(p, q, r)$ ${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ ${\bf e_x}, {\bf e_y}, {\bf e_z}$ . , . , . .

, - . — . ( ) " ".

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: , , -3 3. , $k$ - $k$ 0 a 3. Mas e as unidades vetoriais com graus de escala negativos? Eles existem? Se sim, quais são eles?

No próximo episódio, vamos cavar ainda mais fundo e complicar ainda mais nossa história geométrica.

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