Teoria quântica. Um universo de ondas de probabilidade

A teoria quântica é um dos modelos mais precisos que descreve o mundo ao nosso redor, e as soluções técnicas desenvolvidas por meio do uso do aparato da mecânica quântica entraram firmemente na vida cotidiana da sociedade moderna. E é tanto mais surpreendente que a compreensão mesmo dos conceitos básicos desta área do conhecimento entra em conflito sério com a intuição, não só de pessoas distantes da ciência, mas também dos próprios pesquisadores, o que é confirmado por um grande número de diferentes interpretações . Neste artigo, proponho considerar os conceitos básicos da teoria quântica do ponto de vista mais intuitivo que pareceu ao autor, uma teoria de probabilidade um tanto modificada.



O que acontecerá se, por analogia com o experimento das duas fendas, todo o espaço no caminho da partícula para a tela for preenchido com fendas?

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No início do século 19, o determinismo dominava no quadro científico do mundo - a doutrina de que os parâmetros iniciais de um sistema determinam completamente seu desenvolvimento posterior. A mecânica newtoniana tornou possível prever com muita precisão o comportamento de corpos não muito grandes se movendo a velocidades muito menores do que a velocidade da luz, e a teoria da relatividade geral e especial que apareceu mais tarde tornou possíveis cálculos semelhantes para objetos muito massivos que se movem a velocidades próximas às velocidades da luz.



E foi apenas uma questão de tempo que a criação do demônio de Laplace parecia ser um dispositivo de computação hipotético que seria capaz de receber os parâmetros iniciais de qualquer sistema como entrada e calcular sua posição a qualquer momento. Os cientistas já começaram a antecipar uma vitória quase completa sobre a incerteza e o triunfo da mente humana, embora os paradoxos associados à própria possibilidade da existência do demônio de Laplace já estivessem em grande dúvida.







Mas, quase ao mesmo tempo, as tentativas dos pesquisadores de penetrar na estrutura da natureza em escalas espaciais e temporais extremamente pequenas trouxeram más notícias para o determinismo. Assim, uma das principais afirmações da nova teoria quântica - o princípio da incerteza, dizia que se um sistema tem parâmetros conectados (comutantes), quanto mais precisamente medimos um deles, menos certeza podemos determinar o outro.



Com base nessas ideias, nenhum evento poderia ser previsto com absoluta precisão, pois havia alguma incerteza em quaisquer medições e esse fato não era do agrado de muitos membros da comunidade científica da época. O campo da crítica era liderado por Albert Einstein, que já tinha autoridade mundial na época, que em correspondência com seu adversário e colega Heisenberg - Max Born, disse sobre a possibilidade do princípio da incerteza: "... Em qualquer caso, estou convencido de que [Deus] não joga dados."

Princípio da incerteza, tatuagem e caligrafia

A operação do princípio da incerteza é frequentemente atribuída às propriedades do próprio processo de medição, mas existem razões mais fundamentais e a maneira mais fácil de demonstrá-las é pelo exemplo de dois parâmetros: momento e coordenadas das partículas. Assim como um mesmo desenho pode ser feito de duas formas fundamentalmente diferentes: vetorial e raster, ou seja, na forma de linhas, como, por exemplo, na caligrafia, ou na forma de um conjunto de pontos, como no caso de uma tatuagem. Além disso, o movimento de uma partícula pode ser descrito de duas maneiras alternativas: usando o momento - o vetor da velocidade de massa$$$\vec p=m\vec v$ ou usando um conjunto de coordenadas de espaço-tempo $$${(x_1,t_1);(x_2,t_2);...;(x_n,t_n)}$...

Esquerda: Mestre em caligrafia desenha o símbolo Enso (円 相,), fonte . À direita: O processo de tatuagem da pele humana, fonte .

E de acordo com o princípio da incerteza, com mais precisão iremos fixar a coordenada de um objeto no espaço-tempo $$$Δx$, menos informações podemos obter sobre seu impulso. Imagine que uma bola jogada para cima está sendo fotografada por vários fotógrafos, cada um com uma velocidade de obturador diferente na câmera. Se a velocidade do obturador for longa, a posição da bola na fotografia ficará embaçada, mas o vetor de seu movimento será claramente visível. E quanto menor a velocidade do obturador, mais clara será a localização do sujeito e, no limite, teremos uma bola clara suspensa no ar e não poderemos dizer nada sobre a trajetória ao longo da qual ela se moveu.

Três tomadas alternativas de um objeto em movimento, da esquerda para a direita, são mostradas como, com um aumento no intervalo espaço-tempo (velocidade do obturador da câmera), a quantidade de informações sobre o pulso (trajetória da partícula) diminui.

No mundo dos objetos macroscópicos, esse efeito não é um grande problema, e se quisermos definir a coordenada do carro com uma precisão comparável ao tamanho do próprio carro, então não haverá problema - o carro pode entrar com segurança no túnel e ao mesmo tempo manter sua trajetória previsível. Mas se tentarmos fazer o mesmo, por exemplo, com fótons e começarmos a passá-los por uma fenda decrescente, a princípio o ponto de luz, como esperado, ficará cada vez mais estreito, mas quando o tamanho da fenda se tornar comparável ao comprimento de onda do fóton, então as trajetórias dos fótons na saída da fenda se tornarão cada vez menos previsível e o ponto de luz começará a se espalhar em largura. Em outras palavras, quanto mais precisamente sabemos para onde a partícula passou, menos saberemos sobre para onde ela se moverá em seguida.

Acima, da esquerda para a direita: padrões de interferência obtidos com sucessivas reduções de fenda, fonte . Abaixo: diagrama da configuração experimental, fonte .

Ondas de matéria e suas amplitudes

Mas é difícil surpreender alguém com a interferência de um raio de luz, pois todos já sabem que a luz é uma onda, e cada ponto da frente de onda também será uma fonte de onda e ao diminuir o gap, nós, de acordo com o princípio de Huygens-Fresnel , obtemos uma frente secundária, que, com uma diminuição o tamanho da fenda se parecerá cada vez mais com uma onda de uma fonte pontual.

Difração da frente de onda passando pelo buraco, fonte .

Na verdade, qualquer onda por sua natureza geométrica não está localizada em um ponto, porque para criar até mesmo a onda mais simples, duas medições são necessárias - a amplitude da onda (altura) e o comprimento de onda (largura). E se começarmos a comprimir a onda em altura, ela se espalhará em comprimento e vice-versa. Mas o mais interessante é que experimentos semelhantes foram realizados com partículas de matéria: elétrons, átomos e até moléculas orgânicas, e todos eles também demonstraram difração de onda.



Pela primeira vez, a ideia de que não apenas os fótons, mas em geral qualquer matéria tem propriedades de onda, foi expressa em 1923 pelo físico francês Louis de Broglie em sua obra " Ondas e quanta". Essa hipótese foi parcialmente confirmada já em 1927, como resultado do experimento Davisson-Germer, que mostrou a difração de ondas de elétrons, que deu a Louis de Broglie um merecido Prêmio Nobel de Física em 1929.



Posteriormente, o conhecido experimento de duas fendas foi entregue com elétrons, que mostrou que ondas de partículas de matéria podem não apenas experimentar dispersão, formando frentes de ondas secundárias, mas essas ondas secundárias também podem se amplificar, se encontrando na mesma fase ou, ao contrário, se extinguirem mutuamente, se encontrando em antifase, criando um padrão de interferência semelhante ao macroscópico ondas de água ou ondas sonoras acústicas.

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Mas, se as ondas na água - este movimento oscilatório das partículas de água para cima e para baixo, as ondas sonoras - é semelhante ao movimento das moléculas de ar, a oscilação das quais é uma onda de matéria, o qual pode ser um fotão, átomo, molécula, humano? Formalmente, os cientistas não chegaram a um consenso sobre essa pontuação, no entanto, aprenderam a calcular a função que descreve essa onda em função da coordenada ou de qualquer outro parâmetro que possa ser medido e descobriram que o quadrado do módulo dessa função é uma estimativa precisa da probabilidade Resultados de medição. Portanto, muitos cientistas, incluindo o notável físico Richard Feynman, o chamaramfunções de onda - com amplitudes de probabilidade. E pode parecer bastante estranho que toda matéria e radiação sejam ondas de alguns conceitos matemáticos abstratos, mas, como tentaremos mostrar mais adiante, ao aceitar essa afirmação, você pode obter uma explicação bastante clara de muitos efeitos quânticos.

Números complexos e fase de probabilidade

A partir de experimentos com uma e duas fendas, já sabemos que em muitos aspectos as amplitudes de probabilidade se comportam como as ondas mais comuns e podem até mesmo, passando por uma fenda dupla, se sobreporem, aumentando ou vice-versa, reduzindo a probabilidade de uma partícula aparecer em um ponto, o que cria um padrão de interferência.

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E se definirmos a probabilidade de um evento como a razão entre o número de resultados que levam a um evento e o número total de todos os resultados possíveis, então obtemos que a probabilidade é um número positivo, no intervalo de zero a um, mas então, se tomarmos quaisquer dois gráficos de densidade a probabilidade de encontrar uma partícula em um ponto, veremos que a soma das amplitudes desses gráficos será sempre maior do que cada um deles separadamente e nenhuma interferência destrutiva será obtida.



E se adicionarmos às ondas de probabilidade uma propriedade que as faz interferir? Imagine uma linha reta e cada ponto sobre ela corresponderá à coordenada da partícula, então a partir de cada ponto iremos adiar perpendicularmente a probabilidade correspondente à localização da partícula neste ponto. Conectando o ponto$$$x$e a probabilidade correspondente obtemos um vetor - quanto maior o comprimento do vetor, maior a probabilidade de encontrar uma partícula neste ponto, e para que esses vetores possam interagir, também adicionaremos o ângulo de rotação ao comprimento e o levaremos em consideração ao adicioná-lo.



Você provavelmente já adivinhou que tal construção é muito semelhante a números complexos, que também têm um módulo - comprimento e fase - um ângulo. Então, cada coordenada corresponderá a um plano complexo, no qual os vetores de probabilidade irão girar como os ponteiros de um relógio, e se olharem em uma direção, eles se somam e, se em direções opostas, eles são subtraídos. Ao conectar as pontas dessas setas, obtemos a forma da função de onda ou a amplitude da probabilidade de uma partícula se mover em linha reta em uma dimensão.

Animação de transformações sucessivas que permitem obter a função de onda como a soma das amplitudes de probabilidade em pontos ao longo do caminho da partícula (linha verde), primeiro a parte real da amplitude é definida e, em seguida, a fase (ângulo de rotação) no plano complexo. Fonte .

Números complexos são da forma $$$z=x+y*i$onde está a primeira parte $$$x$ chamado real, e o segundo - $$$y*i$- imaginário. Esses dois componentes nunca se misturam, mas obedecem às mesmas regras dos números reais comuns, levando em consideração que$$$i$ É uma unidade imaginária e é igual a $$$\sqrt{-1}$...



Um dos axiomas básicos da teoria quântica, chamado regra de Born , afirma que o quadrado do módulo da função de onda nos dá uma função de densidade de probabilidade , ou seja, em nosso exemplo, a distribuição de probabilidade de encontrar uma partícula dependendo da coordenada.



Uma rápida atualização na memória, o módulo de um número complexo é a distância da origem -$$$(0, 0i)$ direto ao ponto com coordenadas $$$(x;yi)$, ou seja: $$$\sqrt{x^2+(y\sqrt{-1})^2}$, Está claro que $$$(\sqrt{-1})^2=-1$, mas não vamos descartar a unidade imaginária por enquanto, mas encontrar o quadrado do módulo:

$$$\left(\sqrt{x^2+(y\sqrt{-1})^2}\right)^2=x^2+(y\sqrt{-1})^2=(x+y\sqrt{-1})(x-y\sqrt{-1})$

Obtemos que o quadrado do módulo de um número complexo é o seu produto pelo mesmo número complexo, que difere apenas no sinal antes do coeficiente da parte imaginária $$$z=x-y*i$... Esses pares de números são chamados de conjugados complexos e são imagens espelhadas um do outro, correspondendo à rotação dos vetores no plano complexo em ângulos iguais, mas em direções opostas.

Onde: $$$\overline z$ - número de conjugado complexo

O mundo real de unidades imaginárias

Aqui está o que já entendemos: a função de onda atribui um certo número complexo a cada coordenada. Na verdade, é isso que as funções de onda fazem - elas colocam em correspondência com algum parâmetro mensurável um número complexo, cujo ângulo de rotação é chamado de fase. As fases dos números complexos são responsáveis ​​pelos efeitos de interferência de amplificação e atenuação das probabilidades, que são obtidas pela multiplicação da função de onda por seu reflexo no espelho - conjugação complexa.



Quando perguntado por que o quadrado do módulo da função de onda dá a densidade de probabilidade, a teoria quântica geralmente responde - cale a boca e conteporque o quadrado do módulo torna um número complexo um real. É claro que essa resposta não nos convém de forma alguma, porque você pode obter um real de um número complexo simplesmente pegando seu módulo, então eu gostaria de entender o significado de elevar ao quadrado o módulo.



Vamos imaginar que não sabemos nada sobre a função de onda ou a função de densidade de probabilidade, mas simplesmente fizemos muitas observações e marcamos com pontos onde e com que frequência a partícula aparece. Ao mesmo tempo, entendemos que a distribuição resultante deve ser descrita por algum tipo de gráfico da função densidade de probabilidade e seria extremamente útil conhecer esta função em si.



Para descobrir qual função corresponde aos nossos pontos, vamos pelo caminho mais simples e começar a ajustar a resposta aos dados, ou seja, selecionar polinômios que passarão pelo número máximo de pontos disponíveis. Vamos começar com dois pontos e selecionar para eles os coeficientes do polinômio de primeiro grau, ou seja, a função linear$$$y = ax + b$porque a linha passará exatamente por nossos dois pontos. Se houver pontos que não estão nesta linha reta, então tomamos um polinômio de segunda ordem$$$y = ax^2 + bx + c$o gráfico de que são várias parábolas, escolhendo os coeficientes, temos a garantia de obter pelo menos três pontos, um dos quais será um vértice, e os outros dois ficarão nas laterais. Em seguida, verificamos novamente se ainda existem pontos fora do gráfico, em caso afirmativo, repetimos aumentando o grau do polinômio em mais um e assim por diante, a lógica é clara, o polinômio de grau$$$n$ com garantia de passagem $$$n+1$pontos e, como resultado, podemos escolher um polinômio que irá cobrir todos os nossos pontos. Existe até um teorema especial - o teorema da aproximação de Weierstrass , que confirma que isso é possível.

Um exemplo de pontos de ajuste tirados da função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal com polinômios de vários graus, de linear a 18º grau, usando a função numpy.polyfit . Você pode ter certeza de que o grau do polinômio corresponde ao número de pontos pelos quais seu gráfico passa.

Código Python:

from numpy import *
from matplotlib.pyplot import *
from mpl_toolkits.axes_grid.axislines import SubplotZero


mu, sigma = 0, 0.1
x = np.arange(-1,1,0.02)
y = 1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))*np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2) )

y1 = poly1d(polyfit(x,y,1))	# linear
y2 = poly1d(polyfit(x,y,2))	# quadratic
y3 = poly1d(polyfit(x,y,3))	# cubic
y4 = poly1d(polyfit(x,y,4))	# 4th degree
y5 = poly1d(polyfit(x,y,10))	# 10th degree
y6 = poly1d(polyfit(x,y,18))	# 18th degree

fig = figure(figsize=(20,8), facecolor='#f4efcb', edgecolor='#f4efcb')
ax = SubplotZero(fig,111)
fig.add_subplot(ax)

ax.plot(x,y1(x),'r',label=u'')
ax.plot(x,y2(x),'g',label=u'')
ax.plot(x,y3(x),'orange',label=u'')
ax.plot(x,y4(x),'b',label=u'$4$ ')
ax.plot(x,y5(x),'c',label=u'$10$ ')
ax.plot(x,y6(x),'m',label=u'$18$ ')
ax.plot(x,y,'k.',label=u'')

ax.set_xlabel(u'x')
ax.set_ylabel(u'y')
ax.set_facecolor('#f4efcb')
ax.minorticks_on()
ax.legend(frameon=False,loc=8,labelspacing=.2)
ax.annotate('  18 :'+'\n'+str(y6.coeffs), xy = (-1,1.2))

setp(ax.get_legend().get_texts(), fontsize='large')

fig.savefig("Curve fitting.svg",bbox_inches="tight",pad_inches=.15)

E uma vez que a densidade de probabilidade pode ser aproximada por um polinômio, então certamente este polinômio tem raízes e outro teorema maravilhoso, o teorema principal da álgebra diz que sim, qualquer polinômio deve ter soluções em números complexos, e se as raízes são reais, isso significa simplesmente que a parte imaginária é igual a zero (os vetores terão ângulo de rotação zero), visto que o conjunto de números reais está completamente contido no conjunto de$$$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$...



E se algum número complexo$$$z=x+y*i$ é a raiz de algum polinômio, então automaticamente a raiz da mesma equação é o número conjugado a ela $$$\overline z=x-y*i$, outro teorema nos fala sobre isso - o teorema sobre raízes conjugadas complexas .



Por exemplo, vamos imaginar que a densidade de probabilidade é descrita por um polinômio de segundo grau$$$x^2+5*x+6,5$e encontrar suas raízes. Pela fórmula para as raízes de uma equação quadrática$$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$substituindo os coeficientes $$$a=1, b=5, c=6,5$ e obtemos na forma de uma solução dois números complexos conjugados $$$x_1=-5/2 + i/2$, $$$x_2=-5/2 - i/2$, como o teorema sobre raízes conjugadas afirmado para nós.



Por outro lado, conhecendo as raízes e usando as fórmulas de Vieta, podemos decompor o mesmo trinômio quadrado da seguinte maneira:$$$x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$é fácil verificar que isso é verdade, substituindo os valores obtidos e abrindo os colchetes, obtemos o polinômio original. Mas, ao mesmo tempo, do lado direito da fórmula de Vieta, temos o produto de dois números complexos conjugados, que é o quadrado do módulo. Em princípio, a mesma lógica pode ser estendida para outros graus de polinômios, o principal é que as raízes vão sempre aos pares, e sua multiplicação será usada para obter o polinômio original.



Claro, esse é um raciocínio muito vago, projetado para compreender de alguma forma o que está acontecendo e, usando um exemplo simples, mostrar que os números complexos são totalmente justificados e seus produtos conjugados podem fornecer algo semelhante a uma densidade de probabilidade.

Uma história em quadrinhos com uma piada sobre o tema dos números reais e a multiplicação de uma função de onda por sua própria conjugação complexa. Uma fonte

Ok, vamos supor que temos alguma ideia de como as amplitudes de probabilidade funcionam, por que são complexas e como as probabilidades comuns são derivadas delas. E podemos passar à questão do que essas probabilidades predizem para nós, ou seja, sobre os resultados das medições .

Função de onda e densidade de probabilidade

Ao obter a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada coordenada, predizemos a frequência com a qual observaremos a partícula em diferentes pontos. Por exemplo, se a densidade de probabilidade é descrita por uma curva Gaussiana, como no lado esquerdo da figura abaixo, então em$$$68\%$ casos, veremos que a partícula aparece no intervalo de $$$-1\sigma$ antes $$$+1\sigma$e em $$$95\%$ casos no segmento de $$$-2\sigma$ antes $$$+2\sigma$etc. O que, no caso de uma distribuição simétrica bidimensional, mostrada à direita, dará uma densidade de detecção mais alta de uma partícula em alguma área circular no centro e uma densidade baixa conforme ela se afasta do centro:







Um esquema bastante simples: a função de onda da coordenada define a forma da distribuição, que então nos informa as probabilidades de medir uma partícula em um ponto no espaço. No entanto, tal interpretação pode levar a estranhas contradições e às vezes é mais natural pensar nas partículas como ondas de amplitudes de probabilidade. Por exemplo, a imagem abaixo, à esquerda, mostra como é a densidade de probabilidade de um elétron interagindo com um núcleo de hidrogênio. De acordo com este gráfico, você pode obter a forma dos chamados orbitais de elétrons - regiões ao redor do núcleo de um átomo em que a interação com um elétron é mais provável, mostrado à direita:





Esquerda: curvas de densidade de probabilidade de encontrar um elétron em torno de um único próton, para três níveis de energia$$$1s, 2s, 3s$... À direita: mostra um exemplo de como seriam as distribuições de pontos ao medir a coordenada de um elétron. Fonte .



Na figura acima, você pode ver como as formas dos orbitais mudam dependendo do nível de energia do elétron - quanto maior a energia do elétron, o, primeiro, quanto maior o raio da camada, o que é bastante compreensível, porque quanto mais energia, mais forte o elétron pode resistir à atração do núcleo e mais do núcleo, ele pode interagir, mas ao mesmo tempo, a cada novo nível de energia, uma seção com probabilidade zero é adicionada, chamada de nó, então, por exemplo, o orbital do elétron no 3º nível de energia tem a forma de uma esfera em camadas contendo duas zonas dentro, a probabilidade detecção de um elétron em que é zero.





O contorno da probabilidade de encontrar um elétron nas vizinhanças do núcleo de um átomo de hidrogênio para três níveis de energia da esquerda para a direita: 1s, 2, s 3s. Fonte .



Essa distribuição de probabilidade parece muito estranha, porque é impossível ir de uma esfera a outra sem cruzar a esfera aninhada entre elas.



Mas se você pensar em um elétron como uma amplitude de probabilidade, então tudo é explicado de forma bastante natural, na imagem abaixo a função de onda do raio de um elétron ao redor do núcleo de hidrogênio, calculado em uma dimensão, para três níveis de energia.







Olhando para os gráficos da função de onda, é mais fácil entender que um elétron mantido pelo núcleo de um átomo é uma onda estacionária e, como qualquer onda estacionária, terá os chamados nós (nó ) - zonas onde a amplitude será zero como resultado da interferência com a onda refletida.



Um exemplo da formação de nós de interferência (pontos vermelhos) em uma onda estacionária unidimensional, fonte .



E se uma onda unidimensional, como na animação acima, ainda não se parece com a forma de uma camada de elétrons tridimensional em camadas de um átomo de hidrogênio, então proponho imaginar uma onda em um plano bidimensional se propagando de uma fonte pontual. Então, para ver a forma completa de uma onda bidimensional , você precisa olhar para ela em trêsMedidas. E para um habitante de um mundo bidimensional, essa onda será apenas um conjunto de círculos divergindo do centro. Da mesma forma, com ondas tridimensionais - elas vivem em quatro dimensões, mas para nós elas se parecerão com esferas tridimensionais divergentes.





À direita: animação de uma onda se propagando sobre uma superfície 2D. Esquerda: Um exemplo de como seria a projeção desta onda em um avião.

Barreira quântica de decoerência

Abraham Pais é um eminente físico e historiador da ciência que colaborou com uma galáxia de lendas da ciência do século 20, incluindo: John von Neumann, Albert Einstein, Niels Bohr, Max Born, Paul Dirac, Wolfgang Pauli e muitos outros. ao descrever um dos diálogos sobre o problema do observador na física quântica, ele citou uma questão que lhe foi feita por Einstein:

"Você realmente acha que a lua só existe quando você olha para ela?" (Rev. Mod. Phys. 51, 863-914 (1979), p. 907).

E, de fato, o antigo dilema filosófico sobre a existência da realidade objetiva, com a descoberta das propriedades quânticas de nosso mundo, tornou-se ainda mais relevante. A função de onda torna possível prever o resultado da medição com a precisão necessária, mas existe isoladamente do contexto da medição e do observador, e como isso pode ser verificado?



Em primeiro lugar, é necessário definir o que são observação e medição . Para medir o tamanho de um objeto, aplicamos nele uma régua, para medir a temperatura - aplicamos um termômetro para medir a velocidade - enviamos uma onda eletromagnética em sua direção.



Em todos esses casos, precisamos da interação do objeto medido com algum outro objeto, cujo estado podemos preparar preliminarmente, tal objeto será chamado de sistema de medição. Eles sacudiram o termômetro - prepararam o sistema de medição, colocaram a axila - fizeram uma interação e então avaliaram o quanto o estado do sistema de controle havia mudado. Este é um princípio geral, qualquer medição é a interação do sistema medido com o de controle.



Qualquer observação também é uma medida, ao observar algo obtemos informações sobre um objeto por meio de sistemas de medição embutidos em nosso corpo, que também interagem com o objeto. Se olharmos para um objeto, interagimos com fótons emitidos por esse objeto, que, caindo na retina do olho, levam a uma cascata complexa de interações e ao lançamento de um sinal nervoso que entra no cérebro.

« ? … . , , , . , … : “ , , ”».



«. » —

O princípio da superposição de ondas nos diz que quando duas ou mais ondas se encontram em um ponto no espaço, o resultado da interação será uma nova onda, que é a soma de suas amplitudes. Então, o resultado da medição sempre será alguma sobreposição das funções de onda do sistema medido e do sistema de medição .



Agora surge uma questão razoável: se aceitamos a afirmação de que tudo consiste em ondas de amplitudes de probabilidade, então por que vivemos tão enfadonhos e não observamos as propriedades das ondas, como superposição e interferência em objetos macroscópicos que nos cercam?



Para responder a esta pergunta, vamos olhar novamente para o experimento da dupla fenda: os elétrons voam pela fenda dupla um de cada vez e atingem a tela, são marcados nela com um ponto; quando este processo é repetido muitas vezes, os pontos formam um padrão de interferência que corresponde à passagem de uma onda por duas fendas.

Esquerda: animação do padrão de interferência da passagem de uma onda por uma fenda dupla, origem . À direita: resultados de um experimento de registro de elétrons únicos após passar por uma fenda dupla. Fonte: New Journal of Physics, Volume 15, março de 2013 .

Mas se quisermos descobrir por qual das fendas o elétron passa e colocar um dispositivo de medição na frente de uma delas, o padrão de interferência na tela desaparecerá e veremos apenas dois picos na tela. Tudo isso é intrigante, e pode-se ter a impressão de que existe alguma regra especial que diz ao elétron que, se ninguém estiver olhando, ele se propaga na forma de uma onda e, quando tentam medi-lo, ele se transforma em uma partícula localizada. Parece muito estranho, porque manter tantas regras complexas para um simples elétron não faz parte do espírito da natureza.

Um desenho animado que zomba da separação dos fenômenos em quânticos e clássicos. Fonte (http://www.bourbaphy.fr/zurek.pdf)

E se apenas aplicarmos o princípio da superposição, podemos obter os mesmos efeitos observados? Então, se primeiro tivermos uma função de onda que descreve a coordenada da interação de um único elétron com a tela$$$|\psi \rangle$, então, depois de passar pela fenda dupla, será a soma de duas funções de onda - passada pela fenda $$$1$ e através da lacuna $$$2$, então o estado geral pode ser escrito como uma superposição desses dois estados$$$\psi =\psi_1 +\psi_2$...



No caso de uma função de onda, a fim de encontrar a probabilidade de interação da partícula em um ponto, multiplicamos o valor da função de onda neste ponto por sua própria conjugação complexa, as unidades imaginárias se cancelam e obtemos a probabilidade clássica:

$$$p(x_j)=|\psi(x_j)|^2= z _j^* z_j= |z_j|^2$

No caso de uma sobreposição de duas rotas possíveis, multiplicamos a soma das funções de onda:

$$$p(x_j)=|\psi_1(x_j)+\psi_2(x_j)|^2=$

$$$= (z1 _j^*+ z2 _j^*)(z1 _j+ z2 _j)=$

$$$= |z1 _j|^2+z1 _j^*z2 _j+z2 _j^*z1 _j+|z2 _j|^2$

Na expressão acima, além dos módulos de números complexos, também recebemos os termos do formulário: $$$z1 _j^*z2 _j$ e $$$z2 _j^*z1 _j$ produtos de diferentes números complexos, o resultado dos quais dependerá do ângulo de fase $$$φ$ estes números complexos:

$$$z1z2=|z1|⋅|z2|[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)]$

Para entender como as fases das duas rotas alternativas irão interagir, imagine a fase como uma seta que gira a uma determinada velocidade, conforme a onda se propaga, um giro completo da seta corresponde ao comprimento de onda e a velocidade de rotação corresponde à frequência.

A seta preta mostra uma comparação da "taxa de rotação" das fases de dois pacotes de ondas com frequências de origem diferentes .

Como duas funções de onda alternativas são obtidas dividindo-se um original, é razoável supor que sua frequência e comprimento de onda serão os mesmos e as setas das ondas resultantes girarão na mesma velocidade. Com base nisso, a diferença de fase, ao se encontrar em um ponto da tela, dependerá apenas da diferença na distância percorrida pela onda até esse ponto.



Isso significa que em um ponto localizado a uma distância igual de cada um dos buracos, as ondas se encontrarão com a mesma posição das setas, ou seja, em uma fase e neste local veremos um pico no padrão de interferência, e no ponto onde a diferença nas distâncias percorridas será a metade do comprimento ondas - as setas das ondas se encontrarão em posições opostas e ocorrerá interferência destrutiva, que dará uma mancha escura. Se você se mover um pouco mais para um ponto onde a diferença é um comprimento de onda inteiro, as setas coincidirão novamente e assim por diante.

O aparecimento de duas possibilidades alternativas de acertar a tela leva à divisão da função de onda original em duas com as mesmas fases, mostradas na forma de um mostrador com uma seta. A mesma fase implica na mesma velocidade de rotação da flecha. Ao atingir um ponto da tela no momento da mesma posição das flechas, as ondas interferem de forma construtiva, se as flechas forem direcionadas em direções opostas, ocorre interferência destrutiva.

Onde a interferência desaparece quando medimos, por qual fenda o elétron passa? Depois de passar pelo detector, não duas, mas muitas outras variantes alternativas diferentes da função de onda aparecem, porque mesmo que o detector seja microscópico, ele ainda consistirá de um grande número de átomos, por exemplo, até mesmo um centésimo de grama de ferro contém cerca de$$$10^{20}$átomos, mas o número específico não é importante para nós agora, o principal é que uma enorme variedade de opções de interação diferentes aparecem, que dependem do estado específico das partículas do detector, e cada estado alternativo dará sua própria versão alternativa da função de onda.



Também pegue$$$p(x_j)=|\psi(x_j)|^2$ É a probabilidade de um elétron atingir a coordenada $$$x_j$ na tela, depois de passar pelo detector e escrever novamente essa probabilidade através da superposição de todas as trajetórias alternativas possíveis:



$$$\psi(x) = \psi_1(x)+\psi_2(x)+...+\psi_n(x)$Onde $$$n$ - um grande número de opções diferentes para o estado do detector.

$$$p(x_j)=|\psi_1(x_j)+\psi_2(x_j)+...+\psi_n(x_j)|^2=$

$$$= (z1 _j^*+ z2 _j^*+...zn _j^*)(z1 _j+ z2 _j+...+zn _j)=$

$$$= (\sum_{j=1}^n z_j^*)(\sum_{j=1}^n z_j)$

Para maior clareza, escrevemos o resultado da multiplicação dessas somas na forma de uma matriz de $$$n^2$ elementos:

$$$\begin{bmatrix} (z1^*)(z1) & (z1^*)(z2) & \cdots & (z1^*)(zn) \\ z2^*)(z1) & (z2^*)(z2) & \cdots & (z2^*)(zn) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (zn^*)(z1) & (zn^*)(z2) & \cdots & (zn^*)(zn) \end{bmatrix}$

Total que temos $$$n$ - probabilidades clássicas ao longo da diagonal e $$$(n^2-n)$e termos de interferência, e tudo isso junto dá a probabilidade de um elétron atingir um ponto. Mas, neste caso, os termos de interferência não terão mais a mesma fase, como no caso anterior, quando a onda ou passou pela fenda sem interação ou foi totalmente refletida. Agora, passando por um detector que consiste em várias partículas não sincronizadas entre si, as funções de onda resultantes também terão fases aleatórias - incoerentes.



Esses estados dessincronizados são chamados de estados mistos.) E embora as funções de onda de estados mistos também interfiram, o resultado da interferência não dependerá mais da distância percorrida pela onda, e em cada ponto da tela pode-se esperar o mesmo e muito grande número de termos de interferência construtiva e destrutiva, que em média darão sua contribuição zero ... Da mesma forma que os impactos das moléculas do gás não movem o objeto de seu lugar, pois a cada momento o objeto recebe aproximadamente o mesmo número de impactos de todas as direções.

Perda de coerência da função de onda $$$1$ depois de passar pelo detector $$$d$ leva ao zeramento da contribuição dos termos de interferência em pontos da tela e ao aparecimento de um padrão correspondente à superposição de dois picos gaussianos.

No caso geral, qualquer interação de um sistema quântico com o ambiente externo inevitavelmente e muito rapidamente leva à mistura de estados e, como resultado, à dessincronização de fase e à média de estados alternativos - decoerência.



Portanto, nossa versão da resposta à pergunta: por que não observamos efeitos quânticos em objetos macroscópicos em condições normais? Para obter uma superposição dos estados de um objeto macroscópico, é necessário isolá-lo completamente da interação com o ambiente externo, incluindo colocá-lo em vácuo completo, resfriar a temperaturas ultrabaixas e protegê-lo de campos diferentes, o que é muito difícil de implementar na prática. Em outras palavras, o gato de Schrödinger teria morrido mesmo preparando as condições necessárias para a criação de sua superposição, muito antes de a partícula radioativa se decompor, rompendo a ampola com o veneno.

Um pouco de criptografia quântica

O fato de seu smartphone ainda não ter processador quântico, também tem que culpar a decoerência. Afinal, mesmo as implementações mais modernas de computadores quânticos ocupam uma sala inteira, e a maior parte de seus projetos são sistemas de resfriamento e blindagem criogênicos.

Diagrama de construção do computador quântico D-Wave 2000Q, fonte .

Mas se a decoerência é um grande problema na criação de computadores quânticos, então na criptografia a mudança inevitável na função de onda durante a medição veio a calhar. Por exemplo, se tomarmos um fóton como um bit quântico, então, dependendo de seu ângulo de polarização, podemos escolher duas opções de codificação diferentes para zero e um:

• $$$0$ - polarização vertical, $$$1$ - horizontal;
• $$$0$ - polarização diagonal, $$$1$ - antidiagonal.

Vamos designar esses dois métodos de codificação como duas bases: $$$VH$ e $$$DA$, respectivamente. Então, se o remetente - Alice codifica um pouco na base$$$VH$, isto é, ele envia um fóton polarizado horizontalmente ou vertical, então o receptor Bob precisará passar o fóton recebido por um filtro de polarização linear, que bloqueia completamente a polarização vertical.



Então, se um fóton voar através do polarizador e atingir o detector, sabemos com certeza que ele foi polarizado horizontalmente$$$0$, e se não voar - vertical - $$$1$... Da mesma forma, se você girar o filtro de polarização para uma posição vertical, ele bloqueará$$$100\%$ fótons polarizados horizontalmente.

Esquerda: Um fóton orientado verticalmente é bloqueado por um filtro de polarização linear. Certo: Quando você liga o filtro polarizador para$$$90°$um fóton polarizado verticalmente passa livremente. Fonte .

Até agora, tudo está totalmente consistente com o sistema clássico de codificação de imagens. Mas devido ao princípio da superposição, podemos representar um fóton diagonal como uma composição de polarização horizontal e vertical, e se então passarmos por um polarizador orientado para filtrar fótons verticais, então a saída terá apenas um componente horizontal com amplitude$$$1/2$ do original, que no caso de um único fóton corresponderá a $$$50\%$ a probabilidade de passar pelo filtro.

À esquerda: um fóton diagonal (seta vermelha) apresentado como uma composição das componentes horizontal e vertical (setas rosa e roxa) do campo eletromagnético. Lado direito: um filtro de polarização linear bloqueia o componente vertical de um fóton diagonal e emite um fóton polarizado horizontalmente. Uma fonte

Isso significa que se codificarmos cada bit seguinte em uma base selecionada aleatoriamente, o destinatário também precisará alterar a rotação do filtro de polarização, porque se ele medir um fóton codificado em uma base horizontal-vertical $$$VH$ com o filtro virado para baixo $$$45°$então vai receber $$$0$ e $$$1$ aleatoriamente com probabilidade $$$50\%$, que é análogo a uma perda completa de informações.

Passando por um polarizador linear vertical, os fótons diagonais e antidiagonais perdem o componente horizontal, e a saída é um fóton horizontal com amplitude $$$1/2$do original. Fonte .

O primeiro protocolo de criptografia quântica é baseado neste princípio - $$$BB84$que permite transferir a chave de criptografia em um canal aberto. Então, se Alice precisa enviar a Bob uma mensagem consistindo de n caracteres, então a maneira mais confiável seria traduzir cada um dos caracteres em um código binário e, em seguida, pegar uma sequência de zeros aleatórios e uns do mesmo comprimento e executar a operação de adição bit a bit XOR, ou seja, se os caracteres com os mesmos índices coincidir, então, como resultado, obtemos 0, e se eles forem diferentes, então$$$1$...



Assim, Alice recebe uma mensagem criptografada e uma chave, se o destinatário Bob também tiver uma chave, ele poderá fazer a operação XOR novamente e obter a mensagem original. A física da criptografia quântica apenas permite que você troque uma chave, portanto, no algoritmo$$$BB84$não uma, mas duas sequências de bits aleatórios são geradas de uma vez com alguma margem em relação à mensagem. A primeira sequência indica em que base o fóton, que é o bit quântico da chave enviada por Alice-Bob, será codificado . Então Bob , recebendo fótons, também usando uma sequência aleatória, escolhe em qual base medir cada fóton, enquanto receberá um resultado incorreto com a probabilidade$$$25\%$...



Depois de concluída a transferência da chave quântica, é necessário se livrar dos erros, para isso, é aplicado o chamado procedimento de peneiramento de chave, quando Alice envia a Bob uma sequência de bases em que a chave foi codificada simplesmente através do canal clássico, após o que Bob verifica essa sequência com aquela em que mediu os fótons ao receber a chave e devolver a Alice as posições que se revelaram erradas. Alice risca as posições erradas e a chave obtida é usada posteriormente para criptografia.



O truque quântico é que se um bisbilhoteiro estiver conectado ao canal, digamos - Eva, que irá interceptar um fóton, medi-lo e direcioná-lo posteriormente para Bob , medindo então os fótons interceptados com uma base incorretamente escolhida, ele também destruirá inevitavelmente a superposição. Assim, mesmo depois de peneirar, ainda haverá erros na chave de Bob que podem ser detectados durante o processo de verificação, quando Alice envia um fragmento de sua chave para Bob através do canal clássico, se nenhum erro for encontrado como resultado da verificação, então você pode usar a chave com segurança para mensagens.

Diagrama lógico do algoritmo de criptografia $$$BB84$... Fonte .

Conclusão

Espero que com este artigo você tenha conseguido colher algumas informações e ter uma impressão geral de como a teoria quântica de uma ideia extravagante se tornou um dos modelos físicos mais completos e precisos de nosso Universo. E, finalmente, para aqueles que desejam se aprofundar no assunto, gostaria de recomendar vários recursos e livros:

• "Física e Filosofia" - Werner Heisenberg, compreensão da teoria quântica, vista por um de seus mais destacados fundadores.
• QED - A Strange Theory of Light and Matter é um livro clássico do genial Richard Feynman, que se baseia em palestras populares de ciências ministradas por ele nos anos 60 no California Institute of Technology (Caltech).
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• Physics Videos by Eugene Khutoryansky — YouTube , , , .
• Minute phisics — , , , : , , .
• 3Blue1Brown - canal de Grant Sanderson do ex-aluno de Oxford, uma ótima combinação de apresentação inteligível e visualização única de conceitos de: física quântica , álgebra linear , redes neurais . Grant também é autor de um curso de cálculo multivariado disponível no site do projeto sem fins lucrativos Khan Academy .