A geometria simplética é um campo de estudo relativamente novo, influenciando muito da matemática moderna. E é isso mesmo.
No início do século 19, William Rowan Hamilton descobriu um novo espaço geométrico com propriedades quase mágicas. Ele codificou movimento e matemática em um único objeto geométrico bonito.
A partir desse fenômeno cresceu um campo do conhecimento denominado geometria simplética . Ao longo das últimas décadas, cresceu de algumas coleções de ideias para um campo dinâmico de pesquisa com conexões profundas para mais tópicos em matemática e física que Hamilton dificilmente poderia ter imaginado.
A geometria simplética, na verdade, é o estudo de espaços geométricos de estrutura simplética. No entanto, é preciso esclarecer o que significa que o espaço tem uma estrutura - para não mencionar qualquer estrutura particular.
Os espaços geométricos podem ser flexíveis como uma lona ou rígidos como uma barraca. “Uma lona é algo flexível, mas se você pegar um monte de gravetos e arranjar uma estrutura para ele, você obtém uma estrutura mais estável”, disse Amy Murphy, da Northwestern University.
Espaços menos estruturados são apenas um monte de pontos conectados (como uma lona). A linha reta é um exemplo de um espaço unidimensional desse tipo. A superfície de uma bola é um exemplo bidimensional. Como não há estrutura nesses espaços, é fácil deformá-los sem alterar em um nível fundamental. Curve uma linha reta; inflar, dobrar, torcer a bola - do ponto de vista da topologia, estudando espaços não estruturados, eles não vão mudar.
“Do ponto de vista dos topologistas, começando com a superfície de uma bola, você pode esticá-la como quiser e, até quebrá-la, esse espaço não muda para eles”, disse Isa Keating, da Universidade de Cambridge. "Eles estão interessados nas características gerais da figura."
Naturalmente, quando os matemáticos falam sobre a deformação do espaço, eles não querem dizer alterá-lo manualmente. Eles mudam de espaço usando funções: a função inclui as coordenadas de um ponto, e as coordenadas de um novo ponto aparecem. Essas transformações traduzem qualquer ponto do espaço em um novo. Isso é o equivalente matemático de sacudir uma lona.
Você pode adicionar estrutura ao espaço. Essa estrutura reforça as informações contidas no espaço, ao mesmo tempo que limita as possibilidades de sua deformação.
Espaço não estruturado: a superfície da bola é um espaço bidimensional. A ausência de uma estrutura oferece amplas oportunidades para sua deformação sem alterar suas propriedades topológicas.
Adicionando estruturas: Ao adicionar uma estrutura métrica ao espaço - digamos, como as linhas de latitude e longitude em um globo - podemos medir distâncias entre pontos. Mas então haverá apenas um pequeno conjunto de opções para a deformação do objeto que não violará essas distâncias.
Você pode, por exemplo, adicionar uma estrutura métrica à superfície de uma esfera, como as linhas de latitude e longitude em um globo. Essa estrutura nos permitirá medir as distâncias entre os pontos. Mas após a sua aplicação, não será mais possível inflar ou amassar a bola sem quebrar a estrutura original - afinal, mudaremos as distâncias entre os pontos. Se inflarmos o balão, a distância entre Nova York e Londres, por exemplo, aumentará.
Podemos adicionar outro tipo de estrutura - simplética. Isso nos dá a capacidade de medir áreas no espaço e nos permite mudar a forma do espaço para que essas áreas não mudem.
Hamilton encontrou o primeiro exemplo de tal espaço enquanto estudava sistemas físicos- por exemplo, movimentos planetários. Quando um planeta se move no espaço, sua localização é determinada por três coordenadas que determinam sua posição ao longo dos eixos x, y e z. Os pontos que representam todas as localizações planetárias possíveis formam o espaço tridimensional.
Hamilton descobriu que cada ponto neste espaço tridimensional pode receber três coordenadas adicionais, denotando a magnitude do momento do planeta ao longo dos três eixos. Vamos chamada los x m , y m e z m . Agora temos seis coordenadas: três para localização e três para momentum. Essas seis coordenadas definem um ponto no novo espaço de seis dimensões.
Temos seis coordenadas: três para localização e três para momentum. Essas seis coordenadas definem um ponto no novo espaço de seis dimensões.
Este espaço hexadimensional é um exemplo de espaço com estrutura simplética, pois tem a capacidade de medir áreas. E é assim que funciona.
Em cada ponto no espaço, você pode desenhar seis vetores (setas direcionais) correspondentes à direção do movimento ou momento do planeta ao longo da dimensão para onde o vetor aponta. Como dois vetores formam um paralelogramo - um espaço bidimensional com área diferente de zero - você pode pegar dois vetores e medir essa área.
Para garantir que o valor seja diferente de zero, você precisa tomar certos pares de vetores - denotando a direção do movimento e o momento ao longo do mesmo eixo. Os vetores incompatíveis, por exemplo, o vetor direcional do eixo z junto com o vetor do momento do eixo y fornecem um paralelogramo com área zero.
Esses pares de vetores também refletem outra propriedade importante do espaço simplético - sua relação com os números complexos. Esses números têm i, a raiz quadrada de -1, e têm a forma a + bi, onde a é real eb é imaginário. Uma maneira de definir um espaço simplético de seis dimensões é definir três números complexos, duas partes de cada um dando uma coordenada. Essas duas partes também correspondem aos dois vetores que combinamos para medir a área.
Assim, para cada ponto, por exemplo, os vetores da direção do movimento e momento, plotados ao longo do eixo x, não só fornecem uma maneira de medir a área, mas também constituem um dos três números complexos que definem o espaço. Essa relação se reflete no nome, pois "simplético" vem da palavra grega sumplektikós, que significa o mesmo que o complexo latino - "entrelaçados". O nome reflete o entrelaçamento de estrutura simplética e números complexos.
É também uma das principais razões pelas quais o espaço simplético captura a imaginação dos matemáticos. “Os matemáticos já estavam interessados em números complexos e movimentos planetários”, disse Murphy. "Portanto, se você contar a um matemático sobre a existência da geometria, o que mostra por que essas duas coisas são manifestações diferentes da mesma estrutura básica, ele certamente se interessará por essa questão."
A geometria simplética estuda as transformações de espaços que preservam sua estrutura simplética e não alteram o tamanho das áreas. Esta restrição não dá muita margem de manobra para as transformações permitidas. Como resultado, a geometria simplética ocupa uma posição intermediária entre a topologia de lona flexível e a geometria de tenda rígida. As transformações que preservam a estrutura simplética são chamadas, em homenagem ao descobridor, de difeomorfismos hamiltonianos .
No entanto, Hamilton descobriu apenas o primeiro exemplo de um espaço simplético e não havia razão para pensar nisso. Logo, os matemáticos começaram a pensar sobre como os fenômenos simpléticos poderiam se parecer em espaços geométricos não relacionados ao mundo físico.
"Os matemáticos sempre buscam generalizações, queremos perguntar: como seria a mecânica clássica se vivêssemos não em um espaço tridimensional, mas em um espaço de oito dimensões?" Murphy disse.
Vladimir Igorevich Arnold apresentou várias hipóteses básicas no campo da geometria simplética.
Na década de 1960, Vladimir Igorevich Arnoldapresentou várias hipóteses influentes que descrevem certas propriedades do espaço simplético, tornando-os mais rígidos do que os topológicos comuns. Um deles, a conjectura de Arnold sobre pontos fixos de simplectomorfismos, prevê que os difeomorfismos hamiltonianos têm um número inesperadamente grande de pontos “fixos” que não mudam de localização durante as transformações. Estudando-os, podemos dizer exatamente o que distingue o espaço simplético de outros tipos de espaços geométricos.
No final dos anos 1980, o matemático alemão Andreas Floerdesenvolveu a homologia de Floer, uma plataforma poderosa que os matemáticos usam hoje para estudar fenômenos simpléticos. Ela usa o chamado. curvas pseudo-holomórficas, que permitem indiretamente aos matemáticos contar o número de pontos fixos, determinando um certo número mínimo deles que um espaço simplético deve ter.
"A homologia de Floer mostra que você não pode simplesmente descartar pontos fixos", disse Keating. "Isso permite que você prove que esses pontos devem estar lá."
Com o desenvolvimento da teoria da geometria simplética, foram encontrados links para uma gama cada vez maior de tópicos em matemática e física, desde a teoria das cordas até a topologia de baixa dimensão e o estudo de uma confusa dualidade matemática chamada simetria de espelho. Um exemplo recente da aplicação da geometria simplética é a solução do problema topológico dos pinos quadrados .
Para muitos matemáticos, entretanto, o apelo da geometria simplética tem pouco a ver com suas interseções com a física ou outras áreas da matemática. Eles consideram a própria existência dela um milagre. “Começamos a encontrar beleza na própria estrutura, independentemente de suas conexões com qualquer outra coisa”, disse Murphy.