Relatividade geral. Energia como uma dimensão adicional na solução de Schwarzschild

Habritantes ! Este artigo descreve como obter uma métrica geral que inclui as métricas de Friedman e Schwarzschild como casos especiais.



Para entender o material, você precisa do conceito de derivados.



Vamos imaginar que o espaço tem uma quarta dimensão. Como se o movimento nele retirasse parte do movimento do objeto, ou vice-versa. Como se a gravidade fosse um efeito puramente geométrico de criar um vórtice subdimensional em torno de qualquer objeto com energia.



Você provavelmente já se deparou com uma visualização da gravidade semelhante se estiver interessado na pergunta:



imagem



Para estimar a profundidade desse funil e o mecanismo de interação dos objetos, formularemos uma expressão para o intervalo de assinatura (1-4).



Coordenadas 3 esféricas



Imagine um espaço quadridimensional ψ(w,x,y,z)=R4, e definir as coordenadas esféricas nele (r,θ,ϕ,η):

]w=rsinθsinϕcosη;x=rsinθsinϕsinη;y=rsinθcosϕ;z=rcosθ



Para fazer isso, escrevemos a matriz de transição:

r=(wxyz)=(rsinθsinϕcosηrsinθsinϕsinηrsinθcosϕrcosθ)



Vamos calcular os fatores de conversão:

gr=|rr|=(wrˆh+xrˆi+yrˆj+zrˆk)2==sin2θsin2ϕcos2η+sin2θsin2ϕsin2η+sin2θcos2ϕ+cos2θ=1gθ=|rθ|=r2cos2θsin2ϕcos2η+r2cos2θsin2ϕsin2η+r2cos2θcos2ϕ+r2sin2θ==r2(sin2θ+cos2θ(cos2ϕ+sin2ϕ(cos2η+sin2η)))=rgϕ=|rϕ|=r2sin2θcos2ϕcos2η+r2sin2θcos2ϕsin2η+r2sin2θsin2ϕ+0==r2sin2θ=rsinθgη=|rη|=r 2 sin 2 θ sin 2 ϕ sin 2 η + r 2 sin 2 θ sin 2 ϕ cos 2 η =rsinθsinϕ



E apresentar o correspondente ψ intervalo:

ds2=(-1)dt2+(dW2+dx2+dy2+dz2)ds2=(-1)dt2+(g2rdr2+g2θdθ2+g2ϕdϕ2+g2ηdη2)ds2=(-1)dt2+1dr2+r2dθ2+r2pecado2θdϕ2+r2pecado2θpecado2ϕdη2ds2=(-1)dt2+1dr2+r2(dθ2+pecado2θdϕ2+pecado2θpecado2ϕdη2)



Vermelho - componente temporal, apresentado de forma semelhante à métrica FLRW.

Verde - o componente espacial, representado de forma semelhante à métrica FLRW, e representando a superfície de uma 3-esfera.



Magenta acabou sendo um elo suspenso entre tempo e espaço - o diferencial da mudança multiplicadora da parte espacial.



Visão geral do intervalo



Dando continuidade ao desenvolvimento das ideias delineadas no artigo anterior , colocamos a mudança na quarta dimensão como uma medida relacionada à quantidade relativa de energia dos objetos, portanto, complementamos a métrica do componente-dr2devido à consideração de um sistema energeticamente fechado, que será considerado verdadeiro tanto para o Universo como um todo (solução de Friedmann) e para um corpo massivo esfericamente simétrico (solução de Schwarzschild). O leitor que discorda dessa interpretação pode simplesmente considerá-la um truque matemático:

ds2=(-1)dt2(1-dr2dt2)+r2(dθ2+pecado2θdϕ2+pecado2θpecado2ϕdη2-dr2r2)



Magenta na parte temporal é claro:

dr2dt2=˙r2



Trabalho em bugs. Infelizmente, presenteψ(θ,ϕ,η)=R3ψnão é possível efetuar transformações de coordenadas planas. Se você trazer isso à menter2(dx2+dy2+dz2)os vetores de base não são mais ortogonais entre si.

Outras considerações podem ser válidas apenas para o caso de aproximaçãopecado2θ=ρ2 aceitável para grandes valores r...


Reforma o verde para mostrar que o espaço ψ(θ,ϕ,η)=R3ψ pode ser representado em coordenadas angulares (x1,y1,z1) como a métrica FLRW:

r2(dθ2+pecado2θdϕ2+pecado2θpecado2ϕdη2-dr2r2)==r2dx21+r2pecado2θdϕ2dθ2dy21+r2pecado2θpecado2ϕdη2dθ2dz21-dr2=(1)



Neste caso, os coeficientes de transição são iguais:

dx21=dθ2;dy21=pecado2θdϕ2=pecado2θdϕ2dθ2dθ2=pecado2θ(dϕdrdrdθ)2dθ2==pecado2θ(gθgϕ)2dθ2=pecado2θpecado2θdθ2=dθ2;dη2dθ2=g2θg2η=1pecado2θpecado2ϕ;



Portanto, levando em consideração os vetores de base:

(1)=r2dx21eθ2+r2dy21eϕ2+r2dz21eη2-dr2er2= (2)



o que é 3-espaço ψ1(x1,y1,z1) com linear dθ vetores de base, fator de escala r e comprimento instantâneo deu2=dx21+dy21+dz21, no nosso caso, coletivamente reduzido pelo valor dr2/r2:

(2)=r2(dx21eθ2+dy21eϕ2+dz21eη2-dr2r2er2)= (3)



Sem o componente laranja, obtém-se a parte espacial do intervalo do modelo cosmológico padrão para espaço "plano" com uma possível degradação do fator de escala espacial rno tempo, como em FLRW.



"Pacote" extradr2 será mais prático novamente em esférico, só que agora usual para uma esfera tridimensional (x1,y1,z1)(ρ,φ,ζ)... Para distinguir entre as coordenadas para sistemas 3-esféricos e 2-esféricos, os últimos são denotados(ρ,φ,ζ):

(3)r2(dx21+dy21+dz21-dr2r2)=r2(dρ2-dr2r2+ρ2dφ2+ρ2pecado2φdζ2)==r2((1-d(emr)2dρ2)dρ2+ρ2(dφ2+pecado2φdζ2))



onde a razão da ordem de magnitude dr=rdρ r=eρ, e φ,ζ pelo teorema da tangente:

dφ=rρdϕ;dζ=rpecadoϕρpecadoφdη...



Então, o intervalo completo será:

ds2=(-1)dt2(1-dr2dt2)+r2((1-d(emr)2dρ2)dρ2+ρ2(dφ2+pecado2φdζ2))(UMA)



O resultado é um intervalo combinado, como se "remendado" a partir da forma de um intervalo da métrica FLRW e da métrica Schwarzschild, cada uma representando um caso particular de interações físicas. Agora vamos ver como de(UMA) soluções correspondentes são obtidas.



Visualização de intervalo para a métrica de Friedman



Puramente matematicamente, um intervalo da forma (UMA) torna-se a métrica FLRW do modelo cosmológico padrão simplesmente excluindo o componente de energia dr=0:

ds2=(-1)dt2+r2(dρ2+ρ2(dφ2+pecado2φdζ2))



Que, conforme mostrado acima, também pode ser reescrito assim:

ds2=(-1)dt2+r2(dx2+dy2+dz2)



A solução das equações da relatividade geral para tal intervalo dá a dependência rt2/3...



No entanto, os dados empíricos de QCS para objetosz>0,3mostram o desvio consolidado dessa relação.



Possivelmente uma solução para um intervalo como(UMA) dará uma relação mais precisa, mas ainda não a encontrei.



Solução de relatividade geral em termos da métrica de Schwarzschild



Vamos comparar o intervalo resultante com a métrica de Schwarzschild :

ds2=-(1-ρsρ)dt2+11-ρsρdρ2+ρ2dϕ2+ρ2pecado2ϕdζ2



Se imaginarmos um sistema de objetos interagindo em uma escala de baixa energia (dr/r)então r pode ser tomado igual a um sem perder a conectividade matemática, o espaço se tornará pseudo-euclidiano, e o intervalo (UMA) pode ser reescrito da seguinte forma:

ds2=(-1)(1-dr2dt2)dt2+(1-dr2dρ2)dρ2+ρ2(dφ2+pecado2φdζ2)



Matematicamente, é exatamente o mesmo como se fizéssemos um truque ±dr2 para 3 espaços vazios em coordenadas esféricas (ρ,φ,ζ)...



Ou seja, para a caixa de vácuo plana, o intervalo(UMA)terá uma solução semelhante à solução da métrica de Schwarzschild, desde que os fatores destacados em vermelho e laranja sejam equivalentes. Temos o sistema:

1-ρsρ=1-dr2dt2;11-ρsρ=1-dr2dρ2...



Onde t,r,ρ- em ordem: tempo, curvatura (energia), raio (distância) em um campo gravitacional esfericamente simétrico ao longo da curvatura total zero do espaço.

Usando transformações matemáticas simples, obtemos uma solução muito lacônica:

-dt2+dr2-dρ2=0,



o que confirma que:



  1. A quarta coordenada é linear à coordenada radial.
  2. A quarta coordenada é a coordenada do eixo imaginário.


O primeiro, na minha opinião, é muito importante porque mostra que a energia apresentada como um eixo adicional é quase isotrópica aos observáveis. Em segundo lugar, permite que você entenda por que ela se manifesta de maneira diferente. E "inobservável".



Além disso, gostaria de observar que a própria configuração no intervalo de energia com sinal negativo no que diz respeito ao espaço e positivo no que diz respeito ao tempo nos permite formular sua relação da seguinte forma: o espaço é energia-tempo, é superado na energia-tempo.



Resumo



Parece-me que a continuação do curso de geometrização da física mostra-se uma direção muito promissora. A fictícia do eixo de energia em cosmologia poderia servir como um trampolim para as equações de Maxwell.

Notas marginais. Olhando adiante, me permitirei supor que uma medida imaginária para organizar os mecanismos de carga e massa não será suficiente. Além do dualismo eletromagnético como argumento a favor de pelo menos duas dimensões. E alguma simetria na forma: dimensão do tempo + dois energéticos = três espaço.

Quando for para a microescala, tentarei mover na direção de "divisão"r:

ds2=-dt2-dv2-dW2+dx2+dy2+dz2







Observação 23/08/2020:



Eixo adicional imaginário r foi originalmente dado pelo sinal com o qual ±dr2foram divididos em componentes temporais e espaciais. Ou seja, se imaginarmos o campo gravitacional não como um funil, mas como uma colina, então a quarta dimensão acabará sendo codirigida para o espaço:

dt2+dr2+dρ2=0



Essa indiferença das propriedades mostradas em (1,3) a partir da direção do quinto eixo, aparentemente, é um sinal de sua forma fechada.



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