Aproximação linear de uma combinação de linhas por um conjunto de pontos ruidosos

Formulação do problema

Vamos considerar o problema de aproximação de uma combinação de linhas retas por um conjunto de coordenadas ruidosas de pontos localizados em uma dada combinação de linhas (ver Fig. 1 e Fig. 2). A fórmula usual de aproximação linear não funcionará aqui, uma vez que os pontos estão misturados e o resultado será uma linha média entre eles (ver Fig. 3).

Figura: Combinação de 1 linha e conjunto ruidoso de coordenadas

Figura: 2 Uma combinação de linhas e um conjunto ruidoso de coordenadas em uma escala ampliada

Figura: 3 Resultado da aproximação linear

Algoritmo

, , . .. , , -90 +90 ( -180 180 , .. ).

, , . , , . .

, , . , , .

1.

. , . , . -90 90 0.1 .

2.

, .

, , :

y = k x + b, x_{p}, y_{p}

, , , :

y - y_{p} = - (x - x_{p}) / k => y = - x / k + x_{p} / k + y_{p}

, :

- x / k + x_{p} / k + y_{p} = k x + b => - x + x_{p} + k y_{p} = k^{2} x + b k

- b k + x_{p} + k y_{p} = k^{2} x + x => x = (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1)

y = k (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1) + b = (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} - b k^{2} + b k^{2} + b) / (k^{2} + 1) = (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} + b) / (k^{2} + 1)

:

d i s t = \sqrt ((x_{p} - (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1))^{2} + (y_{p} - (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} + b) / (k^{2} + 1))^{2})

3.

, , , (. . 4-6).

. , (. . 7, 8). . 7 , .

. 4 ( )

. 5 ( )

. 6 ( )

. 7 ( 1)

. 8 ( 2)

4.

, . , (. . 9 . 10):

k = (N \sum_{1}^{N} (x y) - \sum_{1}^{N} x \sum_{1}^{N} y) / (N \sum_{1}^{N} x^{2} - (\sum_{1}^{N} x)^{2}); b = (\sum_{1}^{N} y - k \sum_{1}^{N} x) / N

. 9

. 10

(. 11-13).

. 11

. 12

. 13

( ). .

, , , , .

, - . , . - , .

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