Aproximação linear de uma combinação de linhas por um conjunto de pontos ruidosos

Formulação do problema

Vamos considerar o problema de aproximação de uma combinação de linhas retas por um conjunto de coordenadas ruidosas de pontos localizados em uma dada combinação de linhas (ver Fig. 1 e Fig. 2). A fórmula usual de aproximação linear não funcionará aqui, uma vez que os pontos estão misturados e o resultado será uma linha média entre eles (ver Fig. 3).

Figura: Combinação de 1 linha e conjunto ruidoso de coordenadas

Figura: 2 Uma combinação de linhas e um conjunto ruidoso de coordenadas em uma escala ampliada

Figura: 3 Resultado da aproximação linear

Algoritmo

, , . .. , , -90 +90 ( -180 180 , .. ).

, , . , , . .

, , . , , .

1.

. , . , . -90 90 0.1 .

2.

, .

, , :

$$

$$y = kx + b, x_p, y_p$$

, , , :

$$

$$y-y_p=-(x-x_p)/k =>y= -x/k+ x_p/k+y_p$$

, :

$$

$$-x/k+ x_p/k+y_p=kx+b => -x+ x_p+ky_p= k^2 x+bk$$

$$

$$-bk+ x_p+ky_p= k^2 x+x => x= (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1)$$

$$

$$y= k (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1)+b= (〖kx〗_p+k^2 y_p-bk^2+bk^2+b)/(k^2+1)=(〖kx〗_p+k^2 y_p+b)/(k^2+1)$$

:

$$

$$dist= √((x_p- (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1))^2+(y_p- (〖kx〗_p+k^2 y_p+b)/(k^2+1))^2 )$$

3.

, , , (. . 4-6).

. , (. . 7, 8). . 7 , .

. 4 ( )

. 5 ( )

. 6 ( )

. 7 ( 1)

. 8 ( 2)

4.

, . , (. . 9 . 10):

$$

$$k= (N∑_1^N(xy)- ∑_1^Nx ∑_1^Ny)/(N∑_1^Nx^2 - (∑_1^Nx)^2 ); b =(∑_1^Ny-k∑_1^Nx)/N$$

. 9

. 10

(. 11-13).

. 11

. 12

. 13

( ). .

, , , , .

, - . , . - , .