Mexendo o açúcar no chá ou no café pela manhã, você notará que a forma da superfície da água no copo tem a forma de um funil. Sobre o que essa forma as pessoas vêm pensando há muito tempo, por exemplo, há um artigo sobre Habré , que afirma ser um parabolóide (uma parábola, se você olhar em uma seção). No entanto, é fácil perceber que não se trata realmente de uma parábola. Ou melhor, nem uma parábola. E o que é então?
Para calcular a forma que a água (ou outro líquido) assumirá no vidro, é necessário levar em consideração a viscosidade e o efeito das paredes do vidro. Portanto, aqui é necessário usar as equações de Navier-Stokes para um fluido viscoso incompressível. Como o vidro tem uma forma cilíndrica, as equações de Navier-Stokes devem ser escritas em coordenadas cilíndricas, onde o eixo z vai ao longo do centro do vidro e é direcionado para cima e r é a distância desse eixo. Em geral, as equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas são as seguintes (Hidrodinâmica de Landau-Lifshitz):
Aqui, ro é a densidade do líquido e nu é a viscosidade cinemática.
É muito difícil resolver esse sistema de equações de forma analítica, por isso faremos duas simplificações razoáveis. Em primeiro lugar, assumiremos que o fundo do vidro não afeta a forma do líquido, ou seja, o vidro é profundo o suficiente. Em segundo lugar, assumiremos que a velocidade de rotação do líquido em um círculo é muito maior do que a velocidade de movimento do líquido para cima e para baixo e do centro do vidro para e de suas paredes. Aqueles. essas velocidades podem ser desprezadas. Levando em consideração tais simplificações, a terceira equação de nosso sistema se transformará em identidade, e as duas restantes ficarão assim:
A pressão dentro do líquido em qualquer ponto é diretamente proporcional à coluna de líquido acima deste ponto e é calculada usando a fórmula bem conhecida:
g - , y - z, , , . , :
, omega , , :
, , , , . :
, , , . , , , , :
, :
, , ,
r. , :
, r:
:
:
r :
, . , :
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:
. , , , , , :
.
R - ,
, :
, , , :
, :
C - . , :
:
Vamos agora encontrar, de fato, a forma da superfície. Para fazer isso, substituímos o valor da velocidade tangencial na equação para y:
Nós integramos e obtemos:
Aqui C1 e C2 são constantes dependendo de quanto giramos o líquido e da profundidade do nosso vidro. Nosso perfil de fluido rotativo será semelhante a este:
E se você o representar em 3D, assim:
Se essa for a forma real de chá que você toma de manhã, escreva nos comentários.