“As conquistas de Kurt Gödel na lógica moderna são únicas e monumentais. Definitivamente, isso é algo mais do que um monumento a um cientista, é uma estrela-guia, cuja luz continuará a se espalhar no espaço e no tempo para sempre. "
John von Neumann
Na véspera da morte, o Império Austro-Húngaro deu à humanidade muitas grandes mentes. Grandes nomes como Erwin Schrödinger, Sigmund Freud e Stefan Zweig são conhecidos, talvez, por todos, incluindo aqueles que estão infinitamente longe do mundo da física, psicanálise ou literatura clássica. Poucos estão familiarizados com o trabalho de Kurt Gödel, embora a escala de sua contribuição para a matemática seja comparável à de Einstein no campo da física. Afinal, se a teoria da relatividade e a teoria quântica ajudaram a humanidade a olhar de um ângulo completamente diferente para as leis do universo, então os teoremas de Gödel forçaram os cientistas a reconsiderar suas ideias sobre a metodologia científica e os princípios da mente humana.
Lógica como forma de vida
Kurt Friedrich Gödel nasceu em 28 de abril de 1906 na cidade austro-húngara de Brunn (agora a cidade estatutária da República Tcheca Brno), na família do comerciante austríaco Rudolf August Gödel, que dirige uma grande fábrica têxtil. Embora Kurt desde a infância mostrasse habilidades notáveis para as línguas (mesmo em sua juventude ele dominou o inglês e o francês, não tendo aprendido a falá-los pior do que seu alemão nativo), sua carreira como linguista não o agradou. Depois de se formar na escola em 1923, o jovem entrou na Universidade de Viena, os dois primeiros cursos dos quais se dedicou ao estudo da física, mas depois mudou para a matemática, que foi muito facilitada pela leitura do livro de Bertrand Russell "Introdução à Filosofia de Matemática. "
Jovem Kurt Gödel, 1925
O Círculo Filosófico de Neopositivistas de Viena, criado sob a liderança de Moritz Schlick, Professor do Departamento de Ciências Indutivas, não teve menos influência na formação de Kurt Gödel como cientista. Em várias ocasiões, o filósofo e lógico Rudolf Carnap, o sociólogo e economista Otto Neurath, o filósofo Herbert Feigl, o matemático e mecânico Richard von Mises e muitos outros cientistas proeminentes do início do século 20 participaram do trabalho do Vienna Círculo.
Filósofo austríaco-alemão, fundador do Círculo de Viena, Moritz Schlick
Desde 1926, Kurt Gödel nunca perdeu um único seminário de “quinta-feira” do Círculo de Viena e participou de todas as conferências internacionais organizadas por seus fundadores. O jovem mostrou interesse particular em áreas como lógica matemática e teoria da prova. No entanto, um papel fundamental em sua futura carreira científica foi desempenhado por uma visita ao Oitavo Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Bolonha em 1928, onde Gödel teve a sorte de ouvir uma palestra do próprio David Hilbert sobre a integridade e consistência dos sistemas axiomáticos . O estudo desta questão formou a base para o futuro trabalho científico de Kurt: em 1930, Gödel defendeu brilhantemente sua dissertação "Sobre a Completude do Cálculo Lógico", ao mesmo tempo fazendo uma das maiores descobertas da história da matemática.
Pode parecer que uma pessoa com esse tipo de mente deveria ser um materialista inveterado, mas não é o caso. Ao contrário de muitos de seus colegas, Gödel permaneceu um teísta até o fim de sua vida, embora não se identificasse com nenhuma das denominações existentes. Um cientista uma vez formulou 14 princípios básicos e crenças que fundamentam sua própria visão de mundo:
- O mundo é inteligente.
- Em princípio, ao seguir certas técnicas, uma pessoa é capaz de desenvolver suas habilidades mentais a um nível superior.
- Existem métodos sistemáticos para resolver qualquer problema.
- Existem outros mundos e outros seres inteligentes, incluindo aqueles de uma ordem superior.
- O mundo em que vivemos não é o único mundo em que viveremos ou em que vivemos antes.
- A quantidade do que pode ser aprendido a priori é incomensuravelmente maior do que o que se sabe no momento.
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Para alguns, a peculiar "fé científica" de Gödel pode parecer contraditória ou mesmo caótica. Mas tudo se encaixa se você entender o princípio fundamental, segundo o qual o grande matemático construiu a base da realidade circundante, tijolo por tijolo. Em primeiro lugar, ele sempre colocou a possibilidade de fundamentação lógica de uma teoria ou outra, rejeitando mansamente quaisquer conceitos conflitantes, independentemente de seu estatuto.
Nesse sentido, a atitude de Gödel em relação ao ensino evolucionário de Charles Darwin, geralmente reconhecido nos círculos científicos, é muito indicativo - o matemático considerou-o completamente insustentável.
"A complexidade dos organismos vivos deve ser determinada pela complexidade do 'material' de que são compostos ou pela complexidade das leis pelas quais se desenvolvem."
Gödel rejeitou a própria possibilidade do surgimento espontâneo de tais sistemas complexos, que são organismos vivos, a partir de componentes elementares, ou o desenvolvimento de formas de vida mais perfeitas a partir dos primitivos. Com efeito, do ponto de vista da lógica, a própria ideia de transformar o simples em complexo contradiz o bom senso. Embora ainda existam algumas exceções a essa regra: tais metamorfoses tornam-se possíveis se o mundo for estruturado e organizado de forma tão complexa que suas próprias leis contribuam para a ordenação e complicação consistente de uma mãe viva, ou alguém deliberadamente dirige e controla os processos evolutivos que ele é apenas uma prova indireta da existência de algum poder superior.
É importante notar que o desejo inato de compreensão lógica do mundo nem sempre beneficia o cientista. Os admiradores da obra de Mark Zakharov provavelmente se lembrarão da cena do filme “O Mesmo Munchausen”, em que o barão frustrou seu próprio processo de divórcio, colocando uma data inexistente nos documentos - 32 de maio. O próprio grande matemático quase se viu em situação semelhante: se Munchausen sofreu por causa de seu amor pela verdade (de acordo com o enredo do filme, um dia a mais foi sua descoberta astronômica), então Kurt Gödel quase se decepcionou com sua impecável lógica.
Como o Barão Munchausen, Kurt Gödel quase sofreu por suas convicções. Isso
aconteceu em 1940, quando, após o Anschluss, Gödel, como muitos de seus colegas, foi forçado a emigrar para os Estados Unidos, onde mais tarde se tornou professor no Instituto de Princeton para estudos avançados. De acordo com os regulamentos para obtenção da cidadania americana, cada candidato deveria ser aprovado em algo parecido com um exame oral, demonstrando seu conhecimento das principais disposições da Constituição dos Estados Unidos. Gödel abordou o estudo do ato jurídico normativo mais elevado dos Estados Unidos da América com todo o escrúpulo que lhe é inerente, mas após analisar o que leu, o cientista chegou a uma conclusão inesperada: como se viu, no “país mais democrático no mundo ”é absolutamente legal estabelecer uma ditadura por ... votação em todo o país.
Essa descoberta ressonante quase custou a cidadania de Kurt Gödel, mas Albert Einstein, um amigo próximo e um dos fiadores do cientista, conseguiu persuadir o matemático a adiar as discussões políticas pelo menos até o momento de fazer o juramento. Ele acatou as admoestações e foi aprovado no exame, e mais tarde não voltou a este tópico. Curiosamente, um quarto de século depois, o economista americano e ganhador do Nobel Kenneth Joseph Arrow chegou a conclusões semelhantes, formulando o teorema sobre a impossibilidade da democracia como uma escolha coletiva, também conhecido como o "teorema da inevitabilidade do ditador".
Albert Einstein presenteou Kurt Gödel e Julian Schwinger com as medalhas do Prêmio Einstein de 1951
Provavelmente apenas uma pessoa como Kurt Gödel, que colocou a lógica e o racionalismo acima de seus próprios interesses, poderia fazer uma descoberta que fez os cientistas reconsiderarem radicalmente suas opiniões sobre a estrutura do universo, da noite para o dia até o pó das esperanças de muitos de seus colegas matemáticos por uma formalização total da ciência dos números e da ciência como um todo. E agora que você tem uma ideia melhor de qual era a maneira de pensar de Kurt Gödel e o que a lógica significava para ele, você pode prosseguir para a história sobre a principal ideia intelectual do cientista - os teoremas da incompletude e da inconsistência, que revelar a essência das limitações fundamentais de qualquer um dos sistemas formais existentes.
Formalização do universo
Apesar de sua idade considerável, os "Princípios" do antigo cientista grego Euclides, escritos por volta de 300 aC e até hoje são um modelo da apresentação lógica da teoria matemática e de qualquer teoria científica em geral. Muitas das maiores mentes da humanidade, incluindo René Descartes, Isaac Newton e Benedict Spinoza, tomaram a estrutura dos "Elementos" como base para suas obras, e hoje a abordagem dedutiva para a apresentação do conhecimento é usada na compilação de quase cada livro escolar ou universitário.
Euclides, matemático grego antigo, "pai" da geometria clássica.
Apesar disso, a obra monumental de Euclides não era de forma alguma perfeita, como até mesmo seus contemporâneos notaram. Com o desenvolvimento da ciência matemática, o número de deficiências reveladas dos "Elementos" só aumentou, o que, no entanto, foi bastante natural: com o tempo, as abordagens à axiomática e à metodologia de fundamentação de teoremas tanto na geometria quanto na aritmética só melhoraram , e o texto original de Euclides, a propósito, a tudo, não foi isento de muitas lacunas, cujas raízes residem na tradição antiga. Assim, por exemplo, os antigos matemáticos gregos com teimosia invejável evitaram o conceito de infinito real, devido a que todos os padrões geométricos nos "Elementos" foram descritos em relação a uma área limitada do plano. Isso, por um lado, tornava suas formulações desnecessariamente complicadas e, ao mesmo tempo, limitava significativamente o escopo para raciocínios adicionais, como, por exemplo, no caso do axioma da linha paralela.
No final do século XIX, todos os problemas e contradições dos "Elementos" euclidianos foram resolvidos por David Hilbert, que apresentou em 1899 a monumental obra "Fundamentos da Geometria". O sucesso do matemático alemão inspirou muitos de seus contemporâneos, levando-o com força para trabalhar em direção à formalização total da ciência matemática.
A própria ideia disso esteve no ar nas últimas décadas. Já em 1889, o matemático italiano Giuseppe Peano usou a abordagem de Euclides, mas não mais em relação à geometria, mas à aritmética, formulando 5 axiomas básicos dos números naturais:
- No conjunto de números naturais N, existe um número natural 1, denominado unidade.
- Cada número natural n é imediatamente seguido por um número natural determinado de forma única n ', chamado o próximo após n.
- A unidade, ou seja, o número natural 1, não segue diretamente nenhum número natural.
- Cada número natural segue imediatamente no máximo um número natural.
- Qualquer subconjunto M do conjunto N contendo um, e junto com cada número de M contendo o próximo número depois dele, coincide com o conjunto N.
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Os axiomas de Peano revelaram-se tão simples quanto exaustivos, porque, por meio de inferências lógicas consistentes, permitem derivar e provar todos os teoremas aritméticos básicos. O trabalho de Peano fez os cientistas pensarem em desenvolver uma abordagem unificada para a axiomatização de outros ramos da ciência matemática. No entanto, o lógico, matemático e filósofo alemão Gottlob Frege decidiu ir ainda mais longe, propondo não apenas afirmar axiomaticamente as propriedades básicas dos objetos matemáticos, mas também formalizar os próprios métodos de raciocínio. Frege delineou os resultados de seu trabalho nessa direção nos dois volumes das Leis Básicas da Aritmética, o primeiro livro publicado em 1893, enquanto o segundo foi publicado apenas 10 anos depois. Mas mesmo apesar do tremendo trabalho feito por Frege, seu trabalho final teve uma falha muito significativa.
Lógico, matemático e filósofo alemão Gottlob Frege
Não muito antes da publicação do segundo volume de "As Leis Básicas da Aritmética", o cientista recebeu uma carta de seu colega britânico, Bertrand Russell, na qual apontava uma circunstância que o matemático teve esquecido. O sistema formal proposto por Frege continha um paradoxo na parte relativa à ingênua teoria dos conjuntos de Georg Cantor. Em uma linguagem informal, sua essência pode ser expressa da seguinte maneira.
Vamos concordar em chamar um conjunto que não é seu próprio elemento de "comum". Isso, por exemplo, pode ser atribuído ao público do Habr: esse conjunto é uma coleção de todos os leitores do portal, mas não é um leitor em si. Uma pluralidade "incomum" será tal pluralidade que é seu próprio elemento. Isso inclui o conjunto de todos os conjuntos, uma vez que inclui em geral todos os conjuntos existentes, então ele próprio deve ser um elemento de si mesmo.
Agora vamos imaginar um conjunto consistindo de todos os conjuntos comuns (será chamado de Russell) e tentar descobrir se ele se refere a comuns ou incomuns. Não pode ser comum, pois, por definição, consiste em todos os conjuntos comuns, o que significa que, neste caso, deve incluir a si mesmo. Acontece que temos diante de nós uma multidão incomum. No entanto, neste caso, não pode incluir-se como elemento, visto que, por definição, deve consistir apenas em conjuntos ordinários. Mas se a multidão não é seu próprio elemento, ela se torna comum. Temos uma contradição.
O lógico e matemático britânico Bertrand Russell
Nos dias restantes antes da publicação do livro, Gottlob Frege tentou com todas as suas forças resolver o paradoxo de Russell finalizando seu sistema formal, mas todas as suas tentativas foram malsucedidas. Como resultado, o matemático não teve escolha a não ser acrescentar um posfácio ao segundo volume, no qual, de fato, admitiu sua completa derrota intelectual:
“O que poderia ser mais terrível para um cientista do que descobrir que a própria base de sua muitos anos, trabalho mal concluído, em colapso durante a noite? A carta que recebi de Bertrand Russell me colocou em uma posição nada invejável ... "
Posteriormente, o matemático gastou muito tempo e esforço tentando resolver o paradoxo dentro da estrutura de sua própria teoria, mas foi tudo em vão. Para Frege, esse foi um golpe tão poderoso que até o fim de seus dias ele nunca escreveu um único livro.
O paradoxo foi resolvido pelo próprio Russell com a ajuda da teoria dos tipos... Logo o cientista apresentou sua própria versão do sistema formal, cobrindo todos os ramos da matemática e livre das contradições conhecidas na época. Seu trabalho foi incorporado no Principia Mathematica de três volumes, em coautoria com Alfred North Whitehead, publicado entre 1910 e 1913. Posteriormente, David Hilbert descreveu este trabalho como "a coroa de todos os numerosos esforços para axiomatizar a matemática."
No entanto, os resultados da pesquisa de Russell não foram suficientes para o próprio Gilbert. Em 1922, um plano muito mais ambicioso para fundamentar a ciência matemática e sua formalização abrangente amadureceu em sua cabeça. As ideias de Hilbert tomaram forma no chamado "programa de Göttingen", que é uma lista de postulados básicos e pesquisas necessárias para prová-los. Resumidamente, sua essência pode ser resumida da seguinte forma.
A matemática é um conjunto de consequências derivadas do sistema de axiomas primários e é:
- Completo - qualquer afirmação matemática pode ser inequivocamente provada ou refutada usando as próprias regras da matemática;
- Consistente - nenhuma afirmação matemática pode ser provada e refutada simultaneamente sem violar as regras da matemática;
- Decidível - para qualquer afirmação matemática, é possível estabelecer sem ambigüidade se é refutável ou demonstrável.
O próprio Hilbert tinha absoluta certeza da validade dos postulados listados: segundo o cientista, a matemática era a priori completa, consistente e solucionável, só precisa ser provada.
Matemático alemão David Hilbert
Mas as ambições do cientista iam muito além da mera ciência dos números. Em seu artigo "Cognição da Natureza e da Lógica", Hilbert escreveu o seguinte:
"A ideia principal é formular algumas afirmações, chamadas de axiomas, em vastos campos da ciência, a fim de então construir todo o edifício da teoria em sua fundação em uma forma puramente lógica. "
O matemático acreditava seriamente que todas as disciplinas concebíveis, incluindo as ciências naturais, estão sujeitas à axiomatização e formalização. E o desenvolvimento de uma metodologia unificada e algorítmica de cognição poderia dar um impulso sem precedentes ao desenvolvimento da ciência. Imaginem que alturas a humanidade poderia conquistar se uma “chave mestra universal do universo” aparecesse no arsenal dos cientistas, uma espécie de metodologia superior que permite calcular descobertas científicas! Em nosso tempo, isso poderia levar à criação de algo como o "Grande Pensador" do "Guia do Mochileiro das Galáxias" , aliás, capaz não só de responder às perguntas feitas, mas também de calcular as leis do Universo ainda não conhecidas. antecipadamente. Neste mundo, não haveria barreiras para a razão, e a humanidade adquiriria a verdadeira onipotência.
Frustração
No entanto, os planos ambiciosos de Hilbert para formalizar o universo nunca foram destinados a se tornar realidade. Em 7 de setembro de 1930, em um congresso regular de matemática organizado pelo Círculo de Viena em Königsberg (agora Kaliningrado), Kurt Gödel, de 24 anos, fez um relatório “Sobre a completude do cálculo lógico”, no qual anunciou dois teoremas fundamentais que refutam As ideias de Hilbert.
Em sua forma primária, os teoremas de Gödel lidaram com as limitações fundamentais da aritmética formal. No entanto, uma vez que praticamente todo sistema formal usa conceitos aritméticos básicos em um grau ou outro, os teoremas de Gödel acabaram sendo válidos para muitos outros ramos da ciência. Por esta razão, duas declarações de cada um dos teoremas são fornecidas abaixo.
Primeiro teorema de Gödel (teorema da incompletude)
Para a aritmética: se a aritmética formal é consistente, então há uma fórmula irredutível e irrefutável nela.
Generalizado: toda teoria axiomática consistente contém afirmações que não podem ser provadas nem refutadas por meio da própria teoria.
Segundo teorema de Gödel (teorema da contradição)
Para a aritmética: se a aritmética formal é consistente, então alguma fórmula não é dedutível nela, que afirma substantivamente a consistência da aritmética.
Generalizado: a consistência de qualquer teoria axiomática não pode ser provada por meio desta própria teoria.
Essa performance não foi planejada com antecedência e produziu o efeito de uma bomba explodindo nos círculos científicos, tornando Gödel uma celebridade mundial da noite para o dia. Isso não é surpreendente, porque de fato o matemático provou que toda a pesquisa dentro da estrutura do "programa de Göttingen" foi em vão, e o trabalho posterior sobre ele não fez sentido, uma vez que os três postulados principais subjacentes revelaram-se inicialmente falsos.
Um ano depois, um artigo intitulado "On Fundamentally Insolvable Provisions in Principia Mathematica and Related Systems", contendo provas de ambos os teoremas, foi publicado no jornal científico austríaco "Monatshefte für Mathematik und Physik" ("Monthly of Mathematics and Physics"). E embora a prova do segundo teorema fosse dada apenas na forma de uma ideia geral, era tão lógico e óbvio que ninguém tinha a menor dúvida sobre sua confiabilidade.
Para crédito de David Hilbert, deve-se dizer que o cientista foi o primeiro a reconhecer o valor das obras científicas de Gödel, concordando que todo o seu programa de formalização dos fundamentos da matemática requer uma revisão radical. Além disso, foi no segundo volume de "Foundations of Mathematics", publicado em 1938, que as provas completas de ambos os teoremas foram apresentadas pela primeira vez. No prefácio do livro, seus autores observaram que, para atingir seus objetivos, os métodos finitos por si só, infelizmente, não são suficientes, acrescentando indução transfinita ao número de meios lógicos necessários .
Embora 90 anos tenham se passado desde o surgimento dos teoremas de Gödel, os cientistas não chegaram a uma opinião inequívoca ao avaliar sua influência tanto na matemática em si quanto no desenvolvimento posterior das ciências fundamentais. Muitas pessoas até hoje compartilham a posição de Bertrand Russell, que disse que, de acordo com o relato de Hamburgo, nada mudou fundamentalmente. Embora o trabalho de Gödel tenha tido um impacto tremendo na formação da lógica matemática moderna, no entanto, fora desta disciplina, os matemáticos continuam a deduzir e provar teoremas da mesma maneira que antes.
Curiosamente, o próprio Gödel geralmente compartilhava da opinião de Russell. Afastando as acusações de destruição traiçoeira dos fundamentos da ciência matemática, ele respondeu que seus teoremas apenas levaram a uma reavaliação do papel da personalidade e da intuição humana nas áreas onde as leis da lógica haviam governado anteriormente de forma indivisa, enquanto os fundamentos dos fundamentos eram e permaneceu inabalável
Quanto à ideia utópica de uma clara formalização e algoritmização do conhecimento científico, sobre a qual as obras de Gödel, de fato, colocam uma cruz ousada, muitos cientistas consideram tal conceito, em princípio, sem sentido. Não importa o quão tentador o mainframe possa parecer, gerando e provando continuamente mais e mais novos teoremas, o epíteto "spam matemático", inventado pelo matemático russo e francês Alexander Chenes, é mais adequado para os produtos de computação de tal supercomputador.
Alexander Shen, Pesquisador Sênior do LIRMM CNRS, Pesquisador Associado da Escola Superior de Economia.
Afinal, não apenas a própria formulação de um teorema específico e sua prova são importantes para a matemática e as ciências em geral, mas, e esta é a o principal, o seu significado, que permite estabelecer uma relação entre diferentes entidades e perceber em que direcção se deve avançar e que aplicação prática pode encontrar para os conhecimentos adquiridos. Na ausência de tal entendimento, o valor de teoremas e descobertas díspares gerados com base em regras formalizadas tende a zero.
Os teoremas de Gödel fizeram os cientistas pensarem sobre o conhecimento limitado de uma pessoa sobre suas próprias capacidades mentais. Afinal, seus trabalhos podem ser considerados como uma confirmação indireta de que o pensamento humano não é de forma alguma limitado pela estrutura computacional formal, mas também inclui uma esfera "não computacional" até então desconhecida, cuja manifestação é intuição e percepções repentinas.
Um dos proponentes mais consistentes desse ponto de vista foi o físico e matemático britânico, o ganhador do Prêmio Nobel de 2020 Roger Penrose. Você pode não estar familiarizado com seu trabalho, mas quase certamente ouviu (ou talvez tenha brincado com uma de suas variações quando criança) sobre o mosaico de Penrose - um mosaico não periódico e repetível que consiste em apenas dois elementos em forma de diamante.
O físico e matemático britânico Roger Penrose fica de pé em um chão pavimentado com um mosaico inventado por ele.
Em 1989, Roger Penrose publicou um trabalho de ciência popular muito divertido "The New Mind of the King", cujo título nada mais é do que uma referência ao conto de Hans Christian Andersen "O Novo Vestido do Rei", que conta a história de um monarca que foi vítima de um engano cruel, mas não queria admiti-lo de forma alguma, para não perder sua dignidade. Neste livro, Penrose expressou a opinião de que a consciência humana não é puramente algorítmica, e os processos que ocorrem nela podem ser completamente explicados apenas com o envolvimento dos postulados da física quântica (em particular, um fenômeno como a redução de von Neumann) Posteriormente, Penrose, junto com o neurocientista Stuart Hameroff, desenvolveu a teoria da neurocomputação quântica baseada no modelo de consciência Orch-OR, no qual a atividade cerebral era vista não tanto como um processo bioquímico, mas como um processo quântico. Essa teoria foi detalhada no próximo livro de Roger Penrose, Shadows of the Mind.
Uma consequência importante do raciocínio de Penrose é a impossibilidade fundamental, nesta fase do desenvolvimento da tecnologia da computação, de criar a chamada "inteligência artificial forte" - IA com consciência e autoconsciência, capacidade de empatia e motivação própria, isto é , como uma pessoa. Uma vez que tudo o que os computadores e algoritmos modernos são capazes é apenas uma modelagem mais detalhada e eficaz da atividade lógico-formal do cérebro humano, o surgimento de uma IA "viva" completa, não se deve esperar nem mesmo no caso de um aumento múltiplo no poder de computação: tal resultado será alcançado somente após uma revisão radical das visões sobre a estrutura e os princípios do trabalho da consciência. Talvez, em um futuro distante, a humanidade consiga resolver este problema. Mas será que eles vão se lembrarquem conseguirá fazer um avanço científico tão grandioso, o nome de Kurt Gödel, aquele que conseguiu fazer uma pessoa olhar de forma diferente não apenas para o mundo ao seu redor, mas também para si mesma?
PS
Pode-se falar sem parar sobre Kurt Gödel, sobre suas obras e sua visão de mundo - nem um artigo nem um livro inteiro será suficiente para isso. Para quem deseja conhecer a forma de pensar e o legado do brilhante cientista, recomendamos começar pela obra do matemático e escritor de ficção científica norte-americano Rudy Rucker "Infinity and Consciousness", cujo original está ao público domínio no site oficial do escritor . Aqui você encontrará não apenas explicações detalhadas e provas de teoremas de incompletude e inconsistência, mas, o mais importante, as impressões pessoais do autor sobre a comunicação com Kurt Gödel, que o ajudarão a sentir e entender muito melhor o que essa pessoa incrível viveu e respirou.
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