➗ 🎒 😙 Uma nova classe de números primos que descobri por acidente 🏆 🌦️ 👩🏻‍🎨

Olá a todos! Este é o meu primeiro post sobre o Habré, então vou me apresentar: meu nome é Kostya, sou um desenvolvedor C ++, um pouco músico, um engenheiro iniciante em ML e um amante da matemática. Como você pode imaginar, este post será sobre meu hobby de matemática.

UPD: Conclusões foram adicionadas. Um pouco mais tarde, acrescentarei exemplos de outros primos e outros sistemas numéricos que serão usados para gerar números cíclicos e, como consequência, primos cíclicos.

Antecedentes: há cerca de 14 anos encontrei o fenómeno dos números cíclicos, fiquei fascinado com os padrões que se formam neles e prometi a mim próprio explicá-los. No início, fiz tentativas ingênuas de análise, que trouxeram resultados muito medíocres, mas em 2016 pude ver por mim mesmo que a fração racional 1/7 pode ser representada por uma progressão geométrica convergente. Para ser sincero, naquele momento nem percebi que era uma progressão geométrica, mas reconheci visualmente. Em 2018, decidi colocar todas as minhas habilidades e diligência para encontrar o maior número possível de padrões de números cíclicos. Descobri muito, mas agora quero compartilhar o que considero o mais importante e, ironicamente, descobri por acidente: uma nova classe de números primos.

Eu estava pesquisando primos reptendos completos, números primos e, para ser mais preciso - tais sistemas numéricos para números primos, nos quais 1 / P, onde P é um número primo, dará uma fração periódica, cujo período será igual a o número cíclico.

Aqui você provavelmente deve dar a própria definição de um número cíclico:

Um número cíclico é um inteiro cujas permutações cíclicas são o produto desse número e de números consecutivos.

— 142857, "" + . , . , , , . , " . ".

142857 * 2 = 285714

142857 * 3 = 428571

142857 * 4 = 571428

142857 * 5 = 714285

142857 * 6 = 857142

, 142857 2 6, 142857. .

, 1/7 . 1/7, . .

1/7 . ! , , - , .

, , , 7 . - .

, full reptend prime, «The Philisophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View on the Theory and Practice of Calculation».

200 , . « », 1/7 .

«History of the Theory of Numbers» , full reptend prime.

«The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers» repunit.

«The Book of Numbers» , .

, , , , . .

, 142857, 1428571, . . , 1428571 1, — 7.

, 142857, ( 10 ). , .

7 , 142857: 1428571, 71428571, 7142857142857, 571428571428571, 1428571428571428571428571, 28571428571428571428571428571, 7142857142857142857142857142857.

: 7, 8, 13, 15, 25, 29, 31.


2	34
4	41
7	104
5	273
5	304
1	355
7	440
7	571
1	823
7	2215
5	2523
4	4379
2	4510
4	7553
4	7679
7	9536

23 , 10¹⁰⁰⁰.

. Full reptend prime

, , , , .

full reptend prime long prime. . , , full reptend .

full reptend

P — , , 1/P, N , P-1, , P N full reptend.

P full reptend N, P-1 .

P, , . P, - , P - full reptend prime.

P = 7 . 1/P = 0,(142857). 6, P-1. 1/P .. P-1/P:

2/P = 0,(285714)

3/P = 0,(428571)

4/P = 0,(571428)

5/P = 0,(714285)

6/P = 0,(857142)

, . . , . , . - 1/P. full reptend.

P 1/P. P. P = 2 2, P = 3 3, ..

( ⁿ) mod P = 1

P :

, , full reptend, 7, 17, 19, 23, 29. 2 5 , .

P = 3 : 1/3 = 0,(3). P = 11 , 2 : 1/11 = 0,(09).

P = 13 , 6, P-1. (P-1)/2, , . P 2nd reptend level prime. 2nd reptend level prime:

1/13 = 0,(076923)

2/13 = 0,(153846)

P = 13, P-1/P, , 1/13 2/13, .

3/13 = 0,(230769) — 1

4/13 = 0,(307692) — 1

5/13 = 0,(384615) — 2

6/13 = 0,(461538) — 2

7/13 = 0,(538461) — 2

8/13 = 0,(615384) — 2

9/13 = 0,(692307) — 1

10/13 = 0,(769230) — 1

11/13 = 0,(846153) — 2

12/13 = 0,(923076) — 1

2nd reptend level prime : .

.. : 769230769, 769230769230769230769,769230769230769230769230769230769.

: 1538461.

, , full reptend prime, . P = 7 2 , full reptend, 3 5 — .

7 . 12, . , 17 19, 59 61.

, full reptend n-th repntend level . P N .

1/P:

$\ begin {equation} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {s * r ^ n} {base ^ {comprimento (n + 1)}} = \ frac {1} {P} \ end { equação}$

s — , 1/P:

$\ begin {equation} s = [\ frac {1} {P} * base ^ {length}] \ end {equation}$

full reptend prime , 1 . :)

length , s, . length .

r , 1/P. 1/P P-1, full reptend , P-1.

, , , . P= 7, .. full reptend .

: [3, 2, 6, 4, 5, 1]. . base mod P. , :

$\ begin {equation} \ begin {cases} r_0 = 1 \\ r_n = r_ {n-1} * (base \ mod P) \\ \ end {cases} \ end {equation}$

$\ begin {equation} r_ {length} = base ^ {length} \ mod P \ end {equation}$

, : P— ; base — ; length — , .

$\ begin {equation} \ frac {1} {P} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {[\ frac {1} {P} * base ^ {comprimento}] * (base ^ { comprimento} \ mod P) ^ n} {base ^ {comprimento (n + 1)}} \ end {equação}$

P = 7 c s, :

$\ begin {equation} \ frac {1} {7} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 3 ^ n} {10 ^ {n + 1}} \ end {equação}$

s = 1, 0,(142857), .. length = 1. r = 3, , length = 1.

$\ begin {equation} \ frac {1} {7} = 0,1 + 0,03 + 0,009 + 0,0027 + 0,00081 + .. \ end {equation}$

3 10. :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14*2^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = 0.14 + 0.0028 + 0.000056 + 0.00000112 + .. \end{equation}$

2 100. s = 14, 0,(142857), .. length = 2. r = 2, , length = 2. , , , .

length 1:

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142*6^n}{10^{3(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428*4^n}{10^{4(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14285*5^n}{10^{5(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142857*1^n}{10^{6(n+1)}} \end{equation}$

, s :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428571*3^n}{10^{7(n+1)}} \end{equation}$

s - , . . .

, , , s P N — .

P = 17:

$\begin{equation} \frac{1}{17} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{5*15^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {17} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {58 * 14 ^ n} {10 ^ {3 (n + 1)}} \ end { equação}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {17} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {588 * 4 ^ n} {10 ^ {4 (n + 1)}} \ end { equação}$

89 . 1/89 = 0,0112359.. — , . , :

$\ begin {equation} \ frac {1} {89} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 11 ^ n} {10 ^ {2 (n + 1)}} \ end { equação}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {89} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci (n)} {10 ^ {n + 1}} \ end {equação}$

, — 109.

1/89 : (-1)ⁿ⁺¹. , , .

$\ begin {equation} \ frac {1} {109} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {9 * 17 ^ n} {10 ^ {3 (n + 1)}} \ end { equação}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {109} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci (n) * (- 1) ^ {n + 1}} {10 ^ {n +1}} \ end {equation}$

, , .

-

s , , .

, P = 7, 142857, 1428571. , , 1/P, 1/P .. P-1/P. , , 71428571.

, . , . , , , , , .

, s, , , , . - .

P = 7. 1/P, P-1/P, , s : 2, 5, 7, 71, 571, 2857, 28571.

, - .

- P N. , full reptend prime .

,

, . P N, . , P, , .

- :

, P, , . , 142857. 40 5SMYBH ( 5, 28, 22, 34, 11, 17).

, , H5SMYBH 40 , , : 70217142857.

, . , , , .

P=7 N=10:

1) 1428571

2) 71428571

3) 7142857142857

4) 571428571428571

5) 1428571428571428571428571

6) 28571428571428571428571428571

7) 7142857142857142857142857142857

8) 2857142857142857142857142857142857

9) 42857142857142857142857142857142857142857

40 :

1) MCYB

2) Ra2YB

3) 13NYIMYBH

4) 277Sb5SMYB

5) 1D8TJS2CYBH5SMYB

6) GP98QAT0SMYBH5SMYB

7) 2NbRO471EIMYBH5SMYBH

8) PdGa11UDOPSMYBH5SMYBH

9) 3WAEQ3OR61AQVH5SMYBH5SMYBH

P=7 N=10 :

1) H5SMYBH

2) - 77 , 5SMYBH, B:

5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYB

1) 70217142857

– 12 , 123 .

2) 3262280440470765442418939358741703168874849426...

...28571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571

- , .

,

P = 7 N = 10. :

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N*4

i — . i = 0 , full reptend prime. .

, , .

N = 3, 10, 17, 31, 38, 59:

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N

N = 5, 19, 26, 33, 47, 61:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 12:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 40 , N = 10.

N = 24, N = 12.

, , N.

, 40 , . , , - , 40, , 40 .

12 24 . , , , 12.

, , , full reptend.

, , , 40 10 .

P = 5, . P = 17 , , base, base*2, base*4, .

, , .

, , . . .

, , . . : , , , , .

#1: 40 . 1/7₄₀=0.(5SMYBH)₄₀, H5SMYBH₄₀, 70217142857. 7142857, 40 .

#2: 10 . 571428571428571. 40 1D8TJS2CYBH5SMYB₄₀. , YBH5SMYB , .

,

, . . , .

, . , .

, full reptend prime .

. , , github. .

, full reptend prime. .

, , , .

, 2019 , \ .

, , arxiv.org – . , . – :

, arxiv ? ? 6- , .

Obrigado a todos pela atenção! Espero que meu primeiro artigo não tenha sido cansativo, temos mais alguns pela frente e nem todos serão sobre matemática.

Uma nova classe de números primos que descobri por acidente

. Full reptend prime

full reptend

-

,

,

,

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