Suponha que tenhamos uma cadeia de comprimento le massa M, suspensa por uma extremidade, como mostrado na figura. Aqui, vamos assumir que a corrente é homogênea e as forças de atrito podem ser desprezadas. Vamos construir um sistema de coordenadas de forma que a origem das coordenadas coincida com o ponto de suspensão, o eixo X seja direcionado para baixo e o eixo Y, perpendicular ao eixo X, seja responsável pelo desvio da cadeia em relação ao vertical. Na verdade, é necessário definir a função Y (x, t).
Para encontrar Y (x, t), vamos anotar as forças que atuam em uma pequena seção da corrente, conforme mostrado na figura a seguir.
Pode-se observar na figura que a força de tração T é tangente à corrente. Portanto, a tangente do ângulo T ao eixo X será igual à derivada dY (X) / dX. Sabe-se que se as flutuações forem pequenas, então a tangente é aproximadamente igual ao próprio ângulo em radianos. A força de tração T pode ser calculada usando a fórmula em
que l é o comprimento da corrente, g é a aceleração da gravidade e a
massa por unidade de comprimento da corrente.
Vamos escrever a equação procedente da segunda lei de Newton
No lado direito da equação, substitua o valor da tensão T enquanto sem o coeficiente correspondente
Substitua o valor da derivada no ponto x + dx através da segunda derivada
Expanda os colchetes
e cancelar os termos correspondentes, removendo também o termo de segunda ordem de pequenez.
Substitua a fórmula resultante na equação do movimento.
Reduza por dx e gravidade específica.
Observe que esta equação não depende da gravidade específica, portanto, todas as cordas e correntes de igual comprimento vibrarão da mesma maneira, independentemente da massa. Para resolver esta equação, procuraremos uma solução na forma
Substituindo-a na equação do movimento, obtemos
Dividindo-a por ge a própria função, obtemos que uma parte depende apenas do tempo, e a outra apenas de X. Portanto, eles podem ser equacionados com alguma constante.
Vamos primeiro considerar a parte que depende apenas de X
Para resolver esta equação fazemos a mudança da variável
Então a primeira derivada assume a seguinte forma
e a segunda derivada desta
e a equação pode ser reescrita na forma de
fácil de ver que esta equação pode ser reescrita na forma
Uma vez que não é claro que tipo de equação, tente trazê-la para alguma equação diferencial conhecida.
Para fazer isso, fazemos a alteração
Neste caso, a primeira derivada tomará a seguinte forma
e a equação em si é assim
Mova n ao quadrado sob a derivada
e cancele-a
Faça a diferenciação e obtenha a seguinte equação
Escolhemos n de forma que não haja nenhuma variável livre na derivada mais alta.
Pegamos
a seguinte equação Multiply por 4 ez ao quadrado e obtemos
Isto já é semelhante à conhecida equação de Bessel, é apenas necessário obter livrar-se do fator da própria função. Para fazer isso, nós fazer uma outra transformação da variável
Neste caso, a primeira derivada vai se tornar igual
e a segunda derivada
Substituindo na equação, obtemos
Se levarmos
em seguida, temos o de ordem zero Bessel equação
A solução de tal equação tem a forma
onde A e B são constantes e J e Y são funções de Bessel de ordem zero. Substituindo a variável z de volta, obtemos
Após substituir a variável u, temos a seguinte solução
e, finalmente, retornando à variável x,
usamos o fato de que nossa função deve ser finita no ponto x = l. Como a função Y (x) é infinita em zero, B deve ser igual a zero e nossa solução terá a seguinte forma
Agora usaremos a condição de que no ponto de suspensão o valor de nossa função deve ser igual a zero, ou seja, y (0 ) = 0.
Segue-se disso que
onde j são os zeros da função de Bessel de ordem zero. A partir daqui, você pode determinar o valor do
lambda. Substituindo o labda, obtemos
O que depois da redução dá suas próprias funções.
Vamos dar gráficos para os cinco primeiros.
Agora vamos voltar àquela parte da equação inicial, que é responsável pela dependência do tempo. Conhecendo os valores lambda, você pode calcular as frequências naturais.
Ao extrair a raiz, obtemos que os
períodos correspondentes serão iguais
Compare esta expressão com o período de oscilações de um pêndulo matemático.
Isso conclui nosso estudo das oscilações de uma corrente pendurada livremente. Obrigado pela atenção.