Hoje a NASA tuitou uma mensagem sobre o início do movimento do rover Perseverance através do Planeta Vermelho. O rover dirigiu alguns metros para verificar o chassi. Tudo terminou bem, os sistemas estão funcionando como deveriam. Além disso, o rover fotografou seus próprios rastros. O tempo total de chegada é de 33 minutos, durante os quais o rover percorreu 6,5 metros.
Até onde você pode ver, o veículo espacial está indo bem. Mas, se você se lembra, o rover pousou na superfície usando o Sky Crane. O sistema, que proporcionou um pouso suave com a ajuda dos cabos, em algum ponto se separou do rover e voou, aproveitando as reservas restantes de combustível. Mas onde exatamente ela foi e quão longe ela poderia ir? Vamos contar você mesmo.
A NASA já publicou uma foto da plataforma que caiu na superfície de Marte. A agência sabe sua localização exata. Mas é legal calcular a distância percorrida pela plataforma, tendo à sua disposição os dados iniciais de pouso e o vídeo enviado pelo rover.
Para os cálculos, usaremos o tamanho angular da plataforma de pouso.
Em Habré, dificilmente faz sentido falar sobre qual é o tamanho angular, então vamos começar a fazer os cálculos imediatamente.
Calcular o tamanho angular é muito simples, aqui está a fórmula.
Por que precisamos do tamanho angular? Bem, se o sabemos, além de sabermos o tamanho real, podemos facilmente determinar a distância até o objeto - será r. A opção de cálculo ideal é usar apenas um pino plano, é mais fácil fazer cálculos com ele. Mas como não temos um pino, mas uma plataforma, será um pouco mais difícil. Mesmo assim, não deve haver problemas durante os cálculos.
A primeira coisa que devo fazer é determinar o campo de visão da câmera do rover apontando para cima.Não existem características exatas, então vamos estimar aproximadamente. Aqui está uma plataforma com o rover suspenso por um cabo antes de pousar.
De acordo com a NASA, o cabo tem 6,4 metros de comprimento - portanto, conhecemos o ® nesta foto. Além disso, podemos determinar o comprimento do estágio de pouso. Se tomarmos sua largura, é de 2,69 metros, então o tamanho angular real, visto do rover, é de 0,42 radianos. Vamos usar esse número para definir a largura de todo o quadro de vídeo com um campo de visão angular (FOV) de 0,627 radianos (isso é 35,9 graus).
Tudo isso é extremamente importante para cálculos posteriores. Com esses dados, você pode medir o tamanho angular da plataforma de pouso e calcular a distância até o rover. Para fazer isso, você pode usar uma ferramenta especial, Tracker Video Analysis. Permite analisar o tamanho dos objetos do vídeo. Nós construímos esse cronograma.
Alguém poderia pensar que o gráfico seria parabólico, o que mostraria aceleração constante da plataforma. Mas parece que nada disso aconteceu - se a plataforma acelerou, então foi mínima. Calculamos a velocidade - e obtemos cerca de 8,2 m / s.
Pare! Afinal, temos outra coisa. O fato é que a plataforma de pouso sai inclinada, como já foi dito mais de uma vez. E isso faz sentido - se a plataforma simplesmente voou, então, depois de usar todo o combustível, toda a estrutura entraria em colapso para baixo - direto no veículo espacial. O vídeo permite determinar o ângulo de inclinação. Aqui está um gráfico e uma fórmula que ajuda.
Usando a distância conhecida aos motores, bem como a distância aparente, obtemos um ângulo de inclinação de 52 graus da vertical. Esperemos que tudo esteja correto, já que este indicador é necessário para cálculos posteriores.
Movimento da plataforma
Agora estamos prontos para enfrentar um importante problema físico. Parece que sim.
O módulo de pouso em Marte está realizando uma manobra de partida para chegar a uma distância segura do rover Perseverance. O módulo inicia os propulsores para atingir uma velocidade de 8,2 m / s em um ângulo de lançamento de 52 graus da vertical. Se Marte tiver um campo gravitacional de 3,7 N / kg, a que distância do rover ele cairá? Você pode presumir que a resistência do ar é insignificante.
Existe uma formulação do problema. Agora precisamos de uma resposta. O ponto chave aqui é que o movimento na direção horizontal (vamos chamá-lo de direção x) é feito a uma velocidade constante. Quanto à velocidade de descida (direção y), temos aqui uma aceleração - g (onde g = 3,7 N / kg), causada pela força da gravidade. Por ser constante e agir apenas verticalmente, podemos dividir a tarefa em duas - na verdade, movimento no plano horizontal e movimento no vertical. Esses dois elementos de uma tarefa são independentes, eles estão conectados apenas pelo tempo.
Vamos começar movendo-nos verticalmente.
Para realizar os cálculos necessários, usamos o cosseno. A seguinte equação para movimento com aceleração constante nos ajudará.
As posições inicial e final são zero (esta é a superfície). Aqui está uma expressão para ajudar a determinar o tempo.
Se usarmos y0 com uma distância de 6,4 m (o que é realista), temos que usar a equação quadrática. Não é tão difícil. Mas também podemos usar o tempo no movimento horizontal do veículo de descida. Aqui está a equação do movimento horizontal.
A velocidade depende do seno do ângulo. Agora você pode simplesmente deixar x0 em zero e substituir o tempo pela expressão acima. Como resultado, temos isso.
Substituindo nossos valores, descobrimos que a distância que a plataforma se afastou é de 17,6 metros. Mas não, não é esse o caso. Sabemos disso pelas fotos publicadas pela NASA. De acordo com as imagens, a plataforma pousou a uma distância de cerca de um quilômetro do rover. Mudamos a condição do problema.
Para não representar perigo para o rover, a plataforma deve voar a uma distância de cerca de 1 km. Velocidade de descida - 8,2 m / s com um ângulo de inclinação de cerca de 52 graus. A que altura a plataforma vai subir antes que os motores desliguem? Usamos essa fórmula.
Agora usamos o tempo para resolver a próxima equação.
Se fizermos cálculos, verifica-se que o indicador para um início vertical é de 43 km. Por que é que? A questão é que a plataforma acelerou quando os motores foram lançados.
Vamos tentar fazer alguns cálculos em Python. O cálculo consiste em duas partes. Primeiro, por um certo tempo, o foguete voará a uma aceleração constante de 52 graus. Basta selecionar o tempo e a aceleração e, em seguida, calcular a queda do corpo na superfície de Marte. Aqui está o código do programa que faz todos os cálculos.
GlowScript 3.0 VPython
v0=8.2
g=3.7
theta=52*pi/180
x=1000
y0=.5*g*(x/(v0*sin(theta)))**2-x*cos(theta)/sin(theta)
tgraph=graph(width=550, height=350, xtitle="x-position [m]", ytitle="yx-Position [m]", title="Trajectory of Descent Stage Fly Away")
f1=gcurve(color=color.blue)
#starting position
x=0
y=6.4
#rocket firing time
tf=7
#rocket acceleration
a=6
#initial velocity
vy=v0*cos(theta)
vx=v0*sin(theta)
#time
t=0
dt=0.01
#rockets firing
while t<tf:
vy=vy+a*cos(theta)*dt
vx=vx+a*sin(theta)*dt
y=y+vy*dt
x=x+vx*dt
t=t+dt
f1.plot(x,y)
#to record max height
ymax=0
#projectile motion
while y>=0:
vy=vy-g*dt
y=y+vy*dt
x=x+vx*dt
if vy<0.1:
ymax=y
t=t+dt
f1.plot(x,y)
print("Descent Range = ",x," m")
print("Maximum Altitude = ",ymax," m")
print("Fly Away Time = ",t, " seconds")
Para os cálculos, tomamos a aceleração da plataforma de 6 m / s 2 e o tempo de operação dos motores em 7 segundos. E já chegamos a um valor normal de 964 metros, que já é muito parecido com a verdade. Finalmente.
