A questão de David Hilbert sobre polinômios de sétimo grau, que por muito tempo foi considerada como resolvida, abriu uma nova rede de conexões matemáticas para pesquisadores
O sucesso em matemática é raro. Basta perguntar a Benson Farb .
“O problema com a matemática é que 90% das vezes você falha, e você tem que ser a pessoa que pode aceitar isso”, Farb disse certa vez durante um jantar com amigos. Quando um dos convidados, também um matemático, ficou surpreso com o sucesso de Farb em até 10% das vezes, Farb admitiu: "Não, não, eu exagerei muito minha taxa de sucesso."
Farb, um topologista da Universidade de Chicago, felizmente conheceu seu último revés - embora, com toda a justiça, não fosse inteiramente seu crédito. A questão está ligada a um problema paradoxalmente resolvido e não resolvido, aberto e fechado.
O problema é o 13º de 23 problemas matemáticos que não foram resolvidos no início do século XX. Em seguida, o matemático alemão David Hilbert fez essa lista , que, em sua opinião, determinou o futuro da matemática. O problema está relacionado com a solução de equações polinomiais de sétimo grau. Um polinômio é uma sequência de termos de uma equação, cada um dos quais consiste em um coeficiente numérico e variáveis elevadas a uma potência; os termos estão conectados entre si por adição e subtração. O sétimo grau significa o maior expoente de todas as variáveis.
Os matemáticos já aprenderam a resolver com habilidade e rapidez equações de segunda, terceira e, em alguns casos, quarta ordem. Essas fórmulas - incluindo a conhecida fórmula quadrática do segundo grau - incluem operações algébricas, isto é, aritmética e extração de raízes. Mas quanto maior o expoente, mais confusa é a equação e se torna cada vez mais difícil de resolver. O 13º problema de Hilbert é a questão de saber se a solução para uma equação de sétima ordem pode ser expressa em termos de um conjunto de adições, subtrações, multiplicações, divisões e funções algébricas em no máximo duas variáveis.
Em 1900, David Gilbert compilou uma lista de 23 problemas abertos críticos.
Resposta: provavelmente não. Para Farb, no entanto, não se trata apenas de resolver uma equação algébrica complexa. Ele disse que o Problema 13 é um dos problemas mais fundamentais da matemática, pois levanta questões profundas: quão complexos são os polinômios e como eles podem ser medidos? “Toda uma camada de matemática moderna foi inventada para entender melhor as raízes dos polinômios”, disse Farb.
Esse problema puxou ele e o matemático Jesse Wolfson, da Universidade da Califórnia em Irvine, para a toca do coelho matemático, cujos movimentos eles ainda estudam. Ela também trouxe Mark Kissin , um teórico dos números de Harvard e um velho amigo de Farb , para a escavação .
Farb reconheceu que eles ainda não resolveram o 13º problema de Hilbert, nem sequer chegaram perto de resolvê-lo. No entanto, eles desenterraram estratégias matemáticas quase extintas e exploraram as ligações do problema com vários campos do conhecimento, incluindo análise complexa, topologia, teoria dos números, teoria da representação e geometria algébrica. Eles aplicaram suas próprias abordagens, em particular, combinando polinômios com geometria e estreitando a gama de respostas possíveis à pergunta de Hilbert. Além disso, seu trabalho propõe uma forma de classificar polinômios por métricas de complexidade - um análogo das classes de complexidade relacionadas ao problema não resolvido de igualdade das classes P e NP .
“Eles foram realmente capazes de extrair uma versão mais interessante do interesse do interesse”, em comparação com aqueles estudados anteriormente, disse Daniel Litt, um matemático da Universidade da Geórgia. "Eles mostram à comunidade matemática muitas questões naturais e interessantes."
Aberto, fechado e reaberto
Muitos matemáticos já pensaram que o problema estava resolvido. No final dos anos 1950, o brilhante cientista soviético Vladimir Igorevich Arnold e seu mentor Andrei Nikolaevich Kolmogorov publicaram suas provas. Para a maioria dos matemáticos, o trabalho de Arnold-Kolmogorov encerrou essa questão. Mesmo na Wikipedia - não a verdade última, mas um intermediário bastante razoável na busca por conhecimento - até recentemente o problema foi marcado como resolvido.
Vladimir Arnold e seu mentor Andrei Kolmogorov na década de 1950 provaram ser uma das versões do 13º problema de Hilbert - mas, talvez, Hilbert estivesse interessado em outra versão dele.
No entanto, cinco anos atrás, Farb tropeçou em algumas linhas intrigantes em um ensaio de Arnold, onde o famoso matemático reflete sobre seu trabalho e carreira. Farb ficou surpreso ao saber que Arnold estava descrevendo o problema 13 como aberto, e por quarenta anos vinha tentando resolver um problema que parecia já ter resolvido.
“Existem trabalhos científicos onde a tese sobre a solução do problema é simplesmente repetida. Eles claramente não entendem o problema em si ”, disse Farb. Na época, ele estava trabalhando com Wolfson, então um pós-doutorado, em um projeto de topologia. Quando ele compartilhou as informações que encontrou no trabalho de Arnold, Wolfson se juntou ao projeto. Em 2017, durante um seminário dedicado ao 50º aniversário de Farb, Kissin ouviu a palestra de Wolsfon e ficou surpreso ao perceber que suas ideias sobre polinômios estavam relacionadas a questões em seu trabalho sobre a teoria dos números. Ele se juntou a sua equipe.
O motivo da confusão com esse problema logo ficou claro: Kolmogorov e Arnold resolveram apenas uma de suas opções. Sua solução apresentou funções contínuas - aquelas que não têm quebras ou pontos de inflexão acentuados. Essas funções incluem operações familiares, como seno, cosseno, exponencial e outras mais exóticas.
No entanto, nem todos os pesquisadores concordam que Hilbert estava interessado neles. "Muitos matemáticos acreditam que Hilbert estava se referindo a funções algébricas, não a funções contínuas", disse Zinovy Reichstein , um matemático da Universidade de British Columbia. Farb e Wolfson estão trabalhando em um problema que eles acreditam que Hilbert queria estudar.
Farb disse que o problema 13 é um caleidoscópio. “Você descobre essa coisa e, quanto mais você estuda, mais direções e ideias ela abre”, disse ele. "Isso abre a porta para uma série de problemas, revela toda a maravilhosa teia da matemática."
As raízes do problema
Os matemáticos brincam com polinômios desde a invenção da própria matemática. Tabletes de pedra de 3.000 anos mostram como os matemáticos babilônios usaram a fórmula para resolver polinômios de segunda ordem. Foi o predecessor cuneiforme da própria fórmula quadrática que é ensinada hoje nas aulas de matemática. Fórmula mostra como encontrar as raízes de um polinômio - ou seja, os valores de x nos quais a expressão ax 2 + bx + c, um polinômio de grau dois, torna-se zero.
Com o tempo, os matemáticos naturalmente ficaram interessados na questão de saber se existem fórmulas tão claras e claras para polinômios de ordens superiores. “A história milenar desse problema é chegar a algo tão poderoso, simples e eficaz”, disse Wolfson.
Quanto mais alto o grau do polinômio, mais pesados eles se tornam. No livro Ars Magna [Grande Arte] de 1545, o polímata italiano Gerolamo Cardano publicou fórmulas para encontrar as raízes de polinômios de terceiro e quarto graus.
As raízes do polinômio cúbico ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 podem ser encontradas usando a seguinte fórmula: A
fórmula para o polinômio de quarto grau parece ainda pior.
“Conforme o grau cresce, aumenta a complexidade, e a montanha de complexidade se aproxima”, disse Kurt McMullen, de Harvard. "Como podemos conquistar esta montanha?"
O matemático italiano Paolo Ruffini em 1799 argumentou que polinômios de 5º e maiores graus não podem ser resolvidos usando operações aritméticas e extração de raízes. Em 1824, o matemático norueguês Niels Henrik Abel provou isso. ... Em outras palavras, não existe tal fórmula para um polinômio de quinto grau. Felizmente, surgiram outras ideias que sugerem maneiras de estudar polinômios de graus mais elevados que podem ser simplificados por meio de substituição. Por exemplo, em 1786, o advogado sueco Erland Bring mostrou que qualquer equação da forma ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0 pode ser reescrita como px 5 + qx + 1 = 0, onde p e q - números complexos, cujo valor é determinado por a, b, c, d, e e f. Esse fato abriu novas abordagens para as propriedades ocultas dos polinômios.
No século 19, William Rowan Hamiltoncontinuou o trabalho de Bring e outros. Entre outras coisas, ele mostrou que para encontrar as raízes de um polinômio de sexto grau, você precisa apenas das operações aritméticas usuais, raízes quadradas e cúbicas, e uma fórmula algébrica dependendo de apenas duas variáveis.
Em 1975, o algebraist americano Richard Brower de Harvard introduziu a ideia de "grau resolvente", que descreve o número mínimo de termos necessários para descrever um polinômio de algum grau. Menos de um ano depois, Arnold e o teórico dos números japonês Goro Shimura, em outro artigo, introduziram praticamente a mesma definição.
No modelo de Brouwer, a primeira tentativa de sistematizar as regras para tais substituições, o 13º problema de Hilbert é se é possível que polinômios de sétimo grau tenham um grau resolvente menor que 3. Mais tarde, ele apresentou conjecturas semelhantes sobre polinômios de sexto e oitavo graus.
No entanto, todas essas questões são baseadas em uma questão mais geral: qual é o menor número de parâmetros necessários para encontrar as raízes de qualquer polinômio? Qual é o limite mínimo que você pode ir?
Pensamento visual
Uma abordagem natural para essa questão é imaginar a aparência dos polinômios. O polinômio pode ser escrito como uma função - por exemplo, f (x) = x 2 −3x + 1, - e plote-o. Então, a busca por raízes é reduzida ao fato de que a função se torna igual a zero onde sua curva intercepta o eixo x.
Quanto maior o grau do polinômio, mais complexo é o gráfico. Funções de terceira ordem em três variáveis produzem superfícies suaves, mas torcidas em três dimensões. Sabendo para onde olhar nessas superfícies, os matemáticos podem aprender muito sobre a estrutura polinomial subjacente.
Como resultado, as tentativas de entender polinômios envolvem muitas técnicas de geometria algébrica e topologia - ramos da matemática que se concentram no que acontece com as formas quando elas deformam, encolhem, esticam ou mudam de outra forma sem descontinuidade. “Henri Poincaré essencialmente inventou a topologia e disse claramente que fez isso para entender as funções algébricas”, disse Farb. "Na época, as pessoas estavam tendo dificuldade em estudar essas conexões fundamentais."
O próprio Hilbert revelou uma conexão particularmente interessante ao aplicar a geometria a esse problema. Na época em que ele elaborou sua lista de problemas em 1900, os matemáticos já tinham muitos truques para diminuir os graus dos polinômios, mas ainda não podiam ir mais longe. No entanto, em 1927, Hilbert descreveu um novo truque. Ele começou identificando todas as maneiras possíveis de simplificar os polinômios de nono grau e encontrou entre eles uma família de superfícies cúbicas especiais.
Hilbert já sabia que em cada superfície cúbica lisa - uma figura intrincada descrita por um polinômio de terceiro grau - existem exatamente 27 linhas, não importa o quão torto pareça. Essas linhas retas mudam conforme os coeficientes dos polinômios mudam. Ele percebeu que conhecendo a posição de um deles, ele pode simplificar o polinômio de nono grau e encontrar suas raízes. A fórmula exigia apenas quatro parâmetros - em termos modernos, isso significava que o grau do resolvente não ultrapassava 4.
"O insight surpreendente de Hilbert foi que esse milagre da geometria, originado de um mundo completamente diferente, poderia ser usado para reduzir o grau de o resolvente para 4 ", disse Farb.
Rumo a uma teia de conexões
Quando Kissin ajudou Farb e Wolfson a entender o problema, eles perceberam que a visão geralmente aceita de que o 13º problema de Hilbert havia sido resolvido havia matado todo o interesse na abordagem geométrica do grau do resolvente. Em janeiro de 2020, Wolfson publicou um artigo que revitalizou essa abordagem. Ela estendeu a inversão geométrica de Hilbert de polinômios de nono grau para uma teoria mais geral.
Hilbert concentrou-se nas superfícies cúbicas para encontrar soluções para polinômios de nono grau contendo apenas uma variável. Mas e quanto aos polinômios de grau superior? Para resolver esse problema de maneira semelhante, pensou Wolfson, seria possível substituir a superfície cúbica por algum tipo de “hipersuperfície” de ordem superior formada por esses polinômios de ordem superior em muitas variáveis. A geometria de tais superfícies não é bem compreendida, mas nas últimas décadas, os matemáticos provaram que, em alguns casos, você sempre pode encontrar linhas retas nelas.
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A ideia de Hilbert de usar linhas retas em uma superfície cúbica pode ser desenvolvida em linhas retas nessas "hipersuperfícies" de graus mais elevados. Wolfson usou esse método para encontrar fórmulas novas e mais simples para polinômios de certos graus. Acontece que mesmo que você não consiga imaginar um polinômio de 100º grau, você pode encontrar suas raízes “simplesmente” encontrando um plano em uma hipersuperfície cúbica multidimensional (neste caso, terá 47 dimensões).
Usando este novo método, Wolfson confirmou o valor do grau de resolução encontrado por Hilbert para polinômios de nono grau. E para polinômios de alguns outros graus - em particular, graus acima de 9 - seu método estreita a faixa de valores possíveis do grau do resolvente.
Portanto, este não é um ataque direto ao 13º problema de Hilbert, mas uma abordagem aos polinômios em geral. “Eles encontraram algumas questões relacionadas e foram capazes de fazer progresso nelas, esperando que isso pudesse lançar luz sobre a questão original”, disse McMullen. E seu trabalho indica novas maneiras de trabalhar com essas construções matemáticas.
A teoria geral do grau do resolvente também mostra que as conjecturas de Hilbert a respeito das equações de sexta, sétima e oitava ordem são equivalentes a outros problemas conhecidos em áreas aparentemente não relacionadas da matemática. O grau do resolvente, de acordo com Farb, oferece uma maneira de organizar esses problemas em termos de complexidade algébrica, em vez de agrupá-los em classes de complexidade.
E embora a teoria tenha se originado do 13º problema de Hilbert, os matemáticos não têm certeza de que ela possa resolver a questão em aberto sobre polinômios de sétimo grau. Ele toca em escalas matemáticas gigantescas e inexploradas em dimensões inimagináveis, mas em valores menores dos graus, ele encontra obstáculos intransponíveis e é incapaz de determinar os graus do resolvente para eles.
Para McMullen, a falta de progresso - apesar das sugestões de progresso - é interessante por si só. Segue-se daí que o problema contém segredos que a matemática moderna é simplesmente incapaz de compreender. “Não fomos capazes de resolver este problema fundamental - isso significa que não entramos em nenhuma área escura”, disse ele.
“Serão necessárias ideias completamente novas para resolvê-lo”, disse Reichstein, que desenvolveu sua própria ideia para simplificar polinômios, um conceito que ele chama de “dimensão básica”. "É impossível prever de onde virão."
Mas a trindade não desiste. “Não vou desistir”, disse Farb. “Esta tarefa definitivamente se tornou minha baleia branca . Ela me faz não parar nesta teia de conexões e na matemática que a cerca. "