Como quatro matemáticos resolveram a questão das formas geométricas básicas, criando uma lista completa de tetraedros com ângulos racionais usando métodos da teoria dos números.
Todos os 59 tetraedros com ângulos diédricos racionais podem ser vistos de diferentes lados por referência .
O tetraedro é a forma tridimensional mais simples com lados planos. Suas propriedades principais intrigaram mentes inquisitivas, mesmo nos dias de Platão e Aristóteles. E em novembro de 2020, a prova final foi publicada , que identificou de forma confiável todos os tetraedros especiais existentes. Neste trabalho, os matemáticos estão respondendo à pergunta de uma figura milenar graças a tecnologias avançadas que tornam possível usar um novo método de encontrar soluções para certas equações.
“Esses são objetos matemáticos idealizados que sempre estarão conosco e agora os conhecemos todos”, diz Martin Weissman, da Universidade da Califórnia, em Santa Cruz.
O tetraedro possui base triangular e três lados triangulares, formando uma pirâmide. Pares de faces se tocam nas bordas para formar seis cantos diédricos.
A nova prova define todas as variantes da configuração do tetraedro, onde cada um dos seis ângulos diédricos tem valores racionais, o que significa que cada um deles pode ser escrito como uma fração. Ele afirma que há exatamente 59 exemplos separados, bem como 2 famílias infinitas de tetraedros, satisfazendo essa condição.
Na verdade, esses tetraedros foram descobertos por matemáticos décadas atrás usando métodos de pesquisa de computador, mas eles não sabiam se existiam outros. De forma mais ampla, eles não sabiam como provar que não havia outros tetraedros semelhantes.
“Eles foram encontrados na década de 1990, mas foi somente em 2020 que pudemos provar que a lista era abrangente”, disse Kiran Kedlaya , matemático da Universidade da Califórnia, em San Diego. Kedlaya é coautor da prova com Alexander Kolpakov da Universidade de Neuchâtel na Suíça, Bjorn Punen do Massachusetts Institute of Technology e Michael Rubinsteinda Universidade de Waterloo.
Samuel Velasco / Quanta Magazine
O problema de classificar tetraedros com ângulos diédricos racionais pode parecer simples, mas foram necessários anos de conhecimento matemático acumulado para resolvê-lo, assim como um poder de computação que não estava disponível há dez anos.
“Não se consegue esse tipo de resultado apenas brincando com papel e caneta. Eles desenvolveram métodos muito sofisticados ”, diz Marjorie Seneschal, do Smith College.
Quase não há desenhos na prova de 30 páginas. Em vez disso, a lógica é baseada na resolução de uma equação polinomial na qual os coeficientes e variáveis são elevados a uma potência, por exemplo, y = 3x 2+ 6. Claro, a equação considerada na prova é muito mais complicada.
“A maior parte do trabalho é baseada na teoria dos números, mas a geometria está na superfície”, diz Kedlaya.
A conexão entre a geometria e a teoria dos números deu aos matemáticos uma pista, mas eles tiveram que trabalhar muito para desenvolver essa ideia, porque é muito difícil encontrar soluções especiais para equações complexas e provar que você as encontrou todas. Os matemáticos não sabem fazer isso para a maioria das equações.
“Não existe um método único que funcione sempre. Quase nunca é possível resolver uma equação ”, diz Peter Sarnak, do Institute for Advanced Study.
Somente neste caso, os matemáticos conseguiram! Ao descobrir um novo método para encontrar soluções para equações polinomiais, eles responderam à questão básica sobre formas geométricas e podem ter facilitado encontrar soluções para outras equações no futuro.
Testando tetraedros
A questão de definir todos os tetraedros com ângulos diédricos racionais (tetraedros racionais) foi formulada pela primeira vez formalmente por John Conway e Antonia Jones em um artigo de 1976.
Eles queriam encontrar tetraedros que pudessem ser cortados e montados em um cubo do mesmo volume, uma propriedade conhecida como congruência em tesoura. Em seu trabalho, eles desenvolveram um raciocínio que remonta a 1900, quando David Hilbert propôs 23 problemas que nortearam a pesquisa matemática no século XX. Seu terceiro problema está relacionado com a seguinte questão: são pares de figuras tridimensionais de tesouras de igual volume. Logo ficou provado que esse não era o caso, mas descobriu-se que todos os tetraedros racionais são congruentes com o cubo.
“Conway e Jones questionaram os tetraedros racionais como um caso especial de uma questão muito mais complexa de classificação de tetraedros”, disse Kedlaya.
São objetos matemáticos idealizados que sempre estarão conosco.
Martin Weissman, Universidade da Califórnia, Santa Cruz.
Eles foram capazes de esboçar um método para encontrar esses tetraedros: resolver uma equação polinomial específica. A equação deles contém seis variáveis correspondentes aos seis ângulos diédricos do tetraedro e tem 105 termos que refletem a relação complexa dos ângulos diédricos do tetraedro entre si. Para comparação, imagine um triângulo, seus três ângulos internos estão conectados dentro de um polinômio simples, consistindo de apenas três membros: a + b + c = 180 graus.
A equação polinomial identificada por Conway e Jones também possui infinitas soluções que correspondem a infinitas configurações de possíveis tetraedros. Conway e Jones disseram que, para definir tetraedros com todos os ângulos diédricos racionais, os matemáticos precisam encontrar uma classe especial de soluções para a equação que correspondam exatamente aos tetraedros racionais.
Eles próprios não sabiam como encontrar uma solução, mas tinham certeza de que isso poderia ser feito: "É provável que um tetraedro comum ... cujos ângulos diédricos são racionais, possa ser encontrado usando nossos métodos."
Mais de 40 anos depois, quatro matemáticos confirmaram sua suposição.
Raízes de um
A estratégia de Conway e Jones é bastante comum entre os matemáticos que frequentemente procuram tipos especiais de soluções ao estudar equações polinomiais. Essas soluções podem ser na forma de números inteiros ou racionais. Ou, como neste caso, podem ser soluções com o elegante nome “raízes de um”.
A maioria das raízes de um não aparece na reta numérica normal. Em vez disso, eles estão entre números complexos como 3 + 4i, que têm uma parte real (3) e uma parte imaginária (4). As raízes da unidade servem como soluções para equações polinomiais e têm uma propriedade algébrica especial: elevá-las a uma certa potência resulta em 1. Além disso, elas têm uma representação geométrica elegante: todas estão no círculo unitário no plano complexo.
Para resolver a equação polinomial de Conway-Jones, você deve atribuir números complexos a todas as seis variáveis para tornar verdadeira a equação de 105 termos. As variáveis não representam literalmente as medidas reais dos ângulos, mas substituem os números complexos associados aos cossenos dos ângulos. Conway e Jones notaram que tetraedros racionais corresponderão a soluções de um polinômio em que todas as variáveis são raízes da unidade.
“Seis ângulos se transformam em seis pontos no círculo unitário, e esses números complexos são necessários para satisfazer a equação polinomial”, disse Weissman.
Samuel Velasco / Revista Quanta
No entanto, conhecer essa correspondência não é tão útil quanto pode parecer. Encontrar soluções é uma coisa. E provar que você encontrou todos eles é uma tarefa completamente diferente e muito mais difícil.
Em 1995, dois autores de um novo trabalho, Punen e Rubinstein, na verdade encontraram todos os tetraedros com ângulos diédricos racionais, como aconteceu no final. Na verdade, eles adivinharam a maneira de encontrá-los substituindo combinações de seis números racionais na equação.
“Você pode simplesmente tentar pegar seis números racionais e inseri-los na equação”, disse Poonen. “O problema é que só assim existem soluções. Mas ele não deixa claro se todas as opções possíveis foram encontradas. "
Procure todas as soluções
Em seu novo trabalho, quatro matemáticos provaram que a lista de tetraedros com ângulos racionais encontrada por Punen e Rubinstein 25 anos atrás estava completa e nenhum outro exemplo seria descoberto.
A colaboração deles começou em março de 2020 depois que Poonen ouviu em uma palestra sobre o trabalho relacionado de Kedlai, de coautoria de outro matemático. Eles procuraram raízes na unidade de outro polinômio para resolver outro problema de classificação. Poonen percebeu imediatamente que isso tinha algo a ver com seu estudo anterior inacabado sobre tetraedros.
“Bjorn estava muito interessado no meu trabalho”, disse Kedlay. “Ele disse: 'Espere, isso é exatamente o que eu precisava nos anos 90'.
Bjorn Punen escreveu uma carta a Kiran Kedlae descrevendo o problema de encontrar tetraedros racionais. Sua curta carta terminou com uma nota otimista. “Eu fui muito longe nessa questão na década de 1990 [com Michael Rubinstein] e acho que pode ser concluído com muito esforço humano e do computador.
Em 2020, Kiran Kedlaya, Michael Rubinstein, Bjorn Punen e Alexander Kolpakov inventaram uma nova maneira de resolver equações e, ao fazê-lo, encontraram todos os tetraedros racionais.
Após esta carta, Kedlai recorreu a Kolpakov, que também usou raízes da unidade para classificar os tipos de formas geométricas. Ao mesmo tempo, Poonen contatou seu então co-autor Rubinstein. Tendo criado uma equipe, eles começaram a trabalhar rapidamente.
“Organizamos reuniões bastante regulares, provavelmente duas horas por semana durante vários meses”, disse Kedlaya. E quando eles começaram a compilar uma lista completa das raízes da unidade para o polinômio de Conway-Jones, eles tinham uma ideia muito ampla de onde procurá-las.
Eles sabiam que as soluções deveriam estar abaixo de um número muito grande, um limite superior. Mas a fronteira era tão grande que não havia como explorar todas as possibilidades abaixo dela.
“Esses limites de seis variáveis são assustadores. Sem ideias fundamentalmente novas, a solução para este problema está além do reino do possível ”, disse Sarnak.
Quatro matemáticos tornaram a equação solucionável por meio de duas grandes inovações.
Primeiro, eles baixaram o limite superior. Em seu novo artigo, eles provaram que uma equação polinomial complexa que representa tetraedros pode ser representada como vários polinômios mais simples.
“Estamos passando de uma equação com seis variáveis para um conjunto de centenas de equações mais simples”, disse Kedlaya.
Eles provaram que todas as raízes da unidade desses polinômios mais simples estão abaixo do limite superior, que é muito menor do que o vasto e inexplorado limite superior associado a um polinômio mais complexo. A correspondência entre equações mais simples e complexas significa que encontrar raízes de um para as primeiras resultará em raízes de um para as últimas. Infelizmente, mesmo esse intervalo menor ainda era muito longo para eles explorarem todas as opções possíveis.
Você não pode obter este resultado apenas brincando com papel e caneta.
Marjorie Seneschal, Smith College
A segunda inovação dos autores consistiu no desenvolvimento de uma maneira inteligente de pesquisar neste intervalo menor. Eles sabiam que as soluções têm uma certa estrutura simétrica, o que significa que se há uma solução em uma parte do intervalo, deve haver uma solução na outra parte do intervalo.
Isso permitiu que eles desenvolvessem novos algoritmos que usassem essa estrutura para pesquisar com mais eficiência. Além disso, eles usaram esses algoritmos em computadores muito mais poderosos do que Conway e Jones usaram quando propuseram o uso de raízes de 1 para resolver um problema.
“Acontece que tivemos que redesenhar a estratégia [de Conway e Jones] um pouco com 40 anos de conhecimento adicional e computadores mais poderosos”, disse Kedlay.
Os novos algoritmos testaram todas as combinações possíveis de soluções em um intervalo mais estreito. Com base nessa busca definitiva exaustiva, os autores finalmente provaram que existem apenas 59 exemplos separados de tetraedros com ângulos diédricos racionais e duas famílias infinitas de tetraedros (precisamente aqueles que Punen e Rubinstein haviam encontrado décadas antes). Os tetraedros em cada família infinita diferem em um parâmetro, oferecendo infinitas opções para aumentar o tamanho de alguns ângulos e diminuir outros, enquanto mantém todos os ângulos diédricos racionais.
Nesta exploração, cada um encontrará algo para si.
Para matemáticos interessados em identificar as raízes da unidade de equações polinomiais, o artigo oferece uma nova maneira conveniente de encontrá-las. Em particular, os métodos usados pelos autores para reduzir um polinômio de Conway-Jones complexo a muitos polinômios mais simples provavelmente serão aplicados a outras equações polinomiais complexas que não podem ser resolvidas diretamente.
“Este trabalho sugere que muitos outros problemas que pareciam intransponíveis poderiam ser resolvidos com tais ideias”, disse Sarnak.
E para os matemáticos e todos que gostam de completude, o artigo dá uma resposta nova e perfeita: aqui estão todos os tetraedros com os quais você só pode sonhar.
“Esta é uma grande conquista”, disse Sarnak.