Por muito tempo, os matemáticos tentaram resolver o problema de uma cabra que pastava amarrada a uma cerca. Mas até agora, eles só podiam oferecer soluções grosseiras.
Aqui está uma tarefa simples para você . Imagine uma cerca viva em forma de círculo, com uma área precisamente conhecida de pasto dentro dela. Você coloca uma cabra dentro e amarra-a com uma corda na cerca. De quanto tempo você precisa da corda para que a cabra tenha acesso a exatamente metade dessa área?
Parece uma tarefa de geometria do ensino médio - no entanto, matemáticos profissionais e amadores têm pensado nisso em diferentes formulações por mais de 270 anos. Algumas variantes desse problema foram resolvidas com sucesso, mas o enigma sobre uma cabra dentro de um círculo não nos deu nada além de respostas vagas e incompletas.
Até hoje, “ninguém sabia a resposta exata para a pergunta básica”, disse Mark Meyerson., um matemático da US Navy Academy. "A solução sempre foi difícil."
No entanto, em 2020, o matemático alemão Ingo Ullisch finalmente fez progressos . Ele encontrou, como se acredita, a primeira solução exata para este problema - embora pareça bastante complicado e incompreensível.
“Esta é a primeira expressão precisa do comprimento da corda que conheço”, disse Michael Harrison , um matemático da Carnegie Mellon University. "Este é definitivamente um avanço."
Ullisch reconhece que sua decisão não irá riscar livros didáticos ou impulsionar revoluções matemáticas. Esta tarefa é isolada. "Não está relacionado a outros problemas e não está incluído em nenhuma teoria matemática." Mas sempre existe a possibilidade de que esse quebra-cabeça dê origem a algumas novas idéias matemáticas ou ajude os pesquisadores a encontrar diferentes abordagens para outros problemas.
Dentro e ao redor do curral
O primeiro problema desse tipo foi publicado em 1748 no periódico feminino londrino The Ladies Diary: Or, The Woman's Almanack [Lady's Diary, or Women's Almanac]. A revista prometia "novas melhorias nas artes e ciências e muitas coisinhas divertidas".
O cenário original apresenta um cavalo pastando em uma coleira em um parque. Na tarefa, o cavalo foi amarrado fora da cerca. Se o comprimento da corda coincide com a circunferência da cerca, em que área o cavalo pode pastar? Mais tarde, essa tarefa foi chamada de “fora”, porque o pasto que havia nela não ficava dentro do círculo, mas fora.
A resposta para o quebra-cabeça apareceu na edição de 1749. A resposta foi compilada por um "Sr. Heath", com base, entre outras coisas, no livro de referência "tabelas de pesquisa e logaritmo". Ele deu a resposta: 76.257,86 jardas quadradas com 160 jardas de corda. E esta foi uma resposta aproximada, não um cálculo exato. Deixe-nos explicar com um exemplo: você pode escrever uma resposta numérica aproximada para a equação x 2 - 2 = 0, x = 1,4142, mas isso não será tão preciso ou satisfatório quanto x = √2.
O problema reapareceu em 1894 na primeira edição da American Mathematical Monthly, revisada para o caso em que o animal pastava dentro da cerca. Esse tipo de tarefa é chamada de "interna" e, em média, são mais difíceis que externas, explicou Ullisch. No problema externo, você pode começar a partir do raio do círculo e do comprimento da corda e então calcular a área. Isso pode ser resolvido por meio de integrais.
“Resolvê-lo na direção oposta, começando com uma determinada área e perguntando quais informações levam a ela, é muito mais difícil”, disse Ullisch.
Nas décadas que se seguiram, o mensal publicou diferentes versões do problema interno, envolvendo principalmente cavalos (e em pelo menos um caso uma mula) em vez de cabras. Havia cercas redondas, quadradas e elípticas. Mas na década de 1960, por razões misteriosas, as cabras começaram a substituir gradualmente os cavalos na literatura. Apesar do fato de que, de acordo com o matemático Marshall Fraser, as cabras são "muito independentes para viver na coleira".
Cabras nas dimensões superiores
Em 1984, Fraser foi criativo ao levar o problema de um tema pastoral plano para uma paisagem mais complexa. Ele calculou quanto tempo a corda seria necessária para uma cabra ser capaz de pastar exatamente a metade do volume de uma esfera n-dimensional quando n se aproxima do infinito. Meyerson encontrou um erro lógico em seu raciocínio e mais tarde no mesmo ano o corrigiu , mas chegou à mesma conclusão. Conforme n se aproxima do infinito, a razão entre o comprimento da corda e o raio da esfera tende a √2.
Meyerson observou que esta forma aparentemente mais complexa de descrever o problema, em um espaço multidimensional em vez de um campo com grama, na verdade tornou mais fácil encontrar uma solução. "Em um número infinito de dimensões, temos uma resposta exata e, em duas dimensões, não existe uma solução tão clara."
Existem dois tipos de problemas para uma cabra pastando. Ambos estão associados a uma cabra amarrada a uma cerca redonda. A versão interna pergunta sobre o comprimento da corda que dará acesso a exatamente metade do recinto. Do lado de fora pergunta a que área a cabra tem acesso dado o comprimento da corda e o raio da cerca (na foto, o comprimento da corda é igual à circunferência da cerca).
Em 1998, Michael Hoffman, outro matemático da Academia Naval dos Estados Unidos, expandiu o problema em uma direção diferente quando encontrou um exemplo de problema externo em um newsgroup. Nessa versão, era necessário estimar a área disponível para um touro amarrado na parte externa de um silo circular. O problema interessou a Hoffman, e ele decidiu generalizá-lo não apenas para um círculo, mas para qualquer curva convexa suave, incluindo elipses e até mesmo curvas não fechadas.
“Quando confrontado com uma declaração de problema para um caso simples, um matemático tentará descobrir como ele pode ser generalizado”, disse Hoffman.
Hoffman considerou o caso em que um chicote de comprimento L é menor ou igual à metade do comprimento da curva. Primeiro, ele desenhou uma linha tangente onde a corda é amarrada. Um touro pode pastar em um semicírculo com uma área de πL 2/ 2 limitado por uma tangente. Hoffman então calculou a área exata entre a tangente e a curva por meio de uma integral.
Mais tarde, Graham Jameson , um matemático da Universidade de Lancaster, e seu filho Nicholas chegaram a uma solução detalhada para um problema interno em três dimensões. Eles escolheram esta ocasião porque era menos popular. Como as cabras não podem se mover em três dimensões com tanta facilidade, o Jameson chamou essa tarefa de “problema dos pássaros” em um artigo de 2017. Parece o seguinte: se você amarrar um pássaro a uma gaiola esférica, qual deve ser o comprimento da corda para limitar seu movimento exatamente à metade do volume?
“O problema em três dimensões é realmente mais fácil de resolver do que em duas”, disse Jameson Sr. Como resultado, o casal encontrou a solução exata. No entanto, como a forma matemática da resposta era, nas palavras de Jameson, "precisa, mas terrível" e poderia assustar pesquisadores inexperientes, eles também criaram um método de cálculo aproximado que quantifica o comprimento da corda que "os amantes de pássaros irão desfrutar".
Pegue a cabra
No entanto, a solução exata do problema bidimensional na formulação de 1894 iludiu os matemáticos - até o surgimento da obra de Ullisch em 2020. Ullish ouviu pela primeira vez sobre essa tarefa de um parente em 2001, quando ainda era criança. Ele começou a trabalhar nele em 2017, recebendo seu doutorado na Universidade Wilhelm de Westphalia em Münster. Ele decidiu tentar uma nova abordagem.
Naquela época, era bem conhecido que o problema da cabra poderia ser reduzido a uma única equação transcendental , que por definição inclui termos trigonométricos como seno e cosseno. Isso pode criar um problema, uma vez que muitas equações transcendentais não podem ser resolvidas. Por exemplo, a equação x = cos (x) não tem soluções exatas.
Ingo Ullish
No entanto, Ullish formulou o problema de forma a se fornecer uma equação transcendental mais compatível: sin (β) - β cos (β) - π / 2 = 0. E embora também possa parecer inacessível, ele percebeu que pode ser abordado usando um complexo análise - um ramo da matemática que aplica ferramentas analíticas a equações com números complexos. A análise abrangente existe há séculos, mas Ullish, até onde sabe, foi o primeiro a adotar essa abordagem para cabras famintas.
Com essa estratégia, ele conseguiu transformar sua equação transcendental em uma expressão equivalente para o comprimento da corda que permitiria ao bode pastar na metade da área confinada. Ou seja, ele finalmente respondeu à pergunta usando fórmulas matemáticas precisas.
A solução para o problema é dada na forma do cosseno da razão de duas integrais curvilíneas (fórmula da Wikipedia)
Infelizmente, há um problema. A solução de Ullisch não é uma expressão simples como a raiz quadrada de 2. É algo tão complexo quanto a razão de duas integrais curvilíneas misturadas com diferentes funções trigonométricas. Do ponto de vista prático, ele não dirá exatamente quanto tempo a guia de uma cabra deve ter. Para obter uma resposta aplicável à agricultura, você ainda precisa fazer alguns cálculos aproximados.
Mas Ullish ainda acha que a solução exata é valiosa, mesmo que não seja tão bonita e simples. “Se usarmos apenas valores numéricos ou aproximações, não entenderemos a essência da natureza da solução”, disse ele. "A fórmula nos dá uma compreensão de como a solução é derivada."
Não desista da cabra
Ullisch colocou a cabra que pastava de lado por enquanto, pois não tem certeza para onde ir em seguida. Mas outros matemáticos já estão desenvolvendo suas próprias ideias. Harrison, por exemplo, está preparando um artigo para publicação na Mathematics Magazine, onde explora as propriedades de uma esfera a fim de abordar uma generalização tridimensional do problema da cabra.
"Em matemática, muitas vezes é útil encontrar novas maneiras de obter uma resposta - mesmo para problemas que já foram resolvidos anteriormente", observou Meyerson, "visto que talvez tudo isso possa ser generalizado para uso em outros problemas."
É por isso que os matemáticos gastam tanta tinta com animais imaginários. “Meus instintos nos dizem que trabalhar no problema das cabras que pastam não vai nos dar nenhum avanço”, disse Harrison, “mas você não pode ter certeza. A nova matemática pode vir de qualquer lugar. "
Hoffman está mais otimista. A equação transcendental de Ullisch está relacionada às equações transcendentais que Hoffman estudou em um artigo de 2017. Ele, por sua vez, se interessou por eles graças ao trabalho de 1953, que expôs os métodos convencionais sob uma nova luz. Essa abordagem o lembra de como Ullisch aplicou métodos bem conhecidos na análise complexa a equações transcendentais em novas condições - neste caso, no problema dos próteses.
"As pessoas que fazem avanços fundamentais na matemática não são responsáveis por todo o progresso", disse Hoffman. "Às vezes passa-se pelo fato de que alguém estuda abordagens clássicas e encontra nelas novos métodos de resolver o quebra-cabeça, que no final podem levar a novos resultados."