A reação ao trabalho "Fórmula para resolver uma equação de grau 4", publicado em 12 de janeiro de 2021 na Habré , indicava que o artigo não estava bem estruturado metodicamente. As fórmulas não podiam se sustentar por si mesmas.
Vou tentar consertar a situação.
Então, a equação é 4 graus.
Primeiro, sobre o método Ferrari.
O método Ferrari é notável porque captura a essência da equação do 4º grau. O isolamento de quadrados perfeitos leva ao aparecimento de uma resolução cúbica. Como resultado, a equação pode ser representada como um produto de dois polinômios quadrados.
Para uma equação de 5 e 6 graus, a técnica associada à seleção de quadrados ou cubos completos rapidamente termina em nada. Parece-me que é justamente essa circunstância que realmente deu origem à tese sobre a impossibilidade de resolver equações em radicais acima do 4º grau.
Equação do resolvente:
O produto de dois polinômios quadrados obtidos pelo método de Ferrari.
Coeficientes da expressão do lado direito da identidade.
Em seguida, substituímos a expressão por F ^ 3 do resolvente e obtemos o polinômio original de grau 4.
A única coisa a notar é que o resolvente aparece apenas ao calcular a interceptação.
As raízes da mesma equação devem ser idênticas, independentemente do método obtido.
Na prática, dependendo do método utilizado, obtêm-se raízes, sobre as quais, em sua representação simbólica, é difícil dizer se são idênticas ou não. Por que não ter outro método de solução, que em alguns casos fornece representações simbólicas mais simples de raízes. Esta possibilidade é importante na hora de escolher os valores dos parâmetros das raízes e conjugar as raízes de várias equações.
Diferenças entre o método ftvmetrics e o método Ferrari:
- outras equações auxiliares (resolvents);
- as equações auxiliares “funcionam” não no termo livre, mas nos coeficientes de primeiro e segundo graus;
- é possível calcular duas raízes da equação de 4º grau a partir de uma equação cúbica, apresentada na forma canônica.
Primeira solução.
Foi dado no artigo citado no início.
Equação auxiliar
O produto de polinômios quadráticos, que é idêntico à equação de 4º grau após a substituição repetida R ^ 3
Em vez de resolver cada um dos polinômios quadráticos indicados acima, no método ftvmetrics, você pode encontrar as raízes da equação cúbica.
Duas delas serão as raízes da equação de 4º grau.
Nesse caso, torna-se possível expressar as raízes em termos de exponenciais ou funções trigonométricas.
Você pode ter certeza de que a equação alternativa está correta calculando os subresultantes e verificando os dois primeiros valores.
As expressões resultantes dos subresultantes são "brutais", mas quando você sabe o que está procurando, nem tudo é tão triste.
Segunda solução.
A equação auxiliar
tem uma forma canônica.
O produto de polinômios quadráticos, que é idêntico à equação de grau 4 após a substituição repetida R ^ 3. A
correção da equação alternativa também é verificada por meio dos subresultantes.
Na segunda solução, as equações auxiliares e alternativas têm uma representação canônica.
É curioso conseguir algo novo após 400 anos.
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