🤽🏽 🏾 🥦 Padrões na distribuição de números primos 🙋🏼 🧑🏾 👩🏿‍🚒

Introdução

Um número primo é um número natural que tem exatamente dois divisores naturais diferentes - um e ele mesmo. Esses números são de grande interesse. O fato é que ninguém foi capaz de compreender e descrever totalmente o padrão pelo qual os números primos são localizados em uma linha de números naturais.

Mesmo antes de nossa era, Euclides formulou e provou os primeiros teoremas dos números primos. Desde então, os matemáticos, entre eles Gauss, Fermat, Riemann, Euler, continuaram suas pesquisas e devemos prestar homenagem a eles fizeram progressos significativos. Muitas propriedades interessantes dos primos foram descobertas, muitas suposições foram feitas, algumas das quais foram comprovadas. No entanto, muitas hipóteses relacionadas aos números primos ainda permanecem infundadas.

Distribuição de números primos

A tarefa principal, cuja solução levaria automaticamente à solução da maioria das questões relacionadas aos números primos, é a seguinte:

Obtenha uma fórmula recorrente para o próximo número primo

$p_ {n + 1} = f (n, p_1, p_2, ..., p_n),$

p _n - n- ésimo número primo ( p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , p ₃ = 5 , ...)

Há um problema relacionado com o número de primos que não excedem um determinado valor:

Encontre uma função p (x) cujo valor no ponto x seja igual ao número de primos no segmento [ 1, x ] . Onde x é qualquer número real não inferior a um.

A função $\ pi (x)$ é chamada de função de distribuição de números primos.

Existem muitas abordagens para resolver os problemas acima. Vamos considerar alguns deles.

, ( , ).

, , , , .

p₁ =2. 2, 2k+1, k – . — .

p₂ = 3. 3m+1, 3m+2, m – . , . , 2k+1.

$\ begin {array} {} {2k + 1 = 3m + 1, \\ 2k + 1 = 2m + 2,} \ end {array}$

k m , p₃ p = 6t + 1 , p = 6t + 5 , t – .

, :

$\ begin {array} {} {5 = 6 * 0 +5, \\ 7 = 6 * 1 + 1, \\ 11 = 6 * 1 + 5, \\ 13 = 6 * 2 + 1.} \ end { array}$

, 6t+1 6t+5 . , 25 = 6 * 4 + 1 .

p₃ = 5. , , 5, p₁ = 2 p₂ = 3, , p₄

$\ begin {array} {} {p = 30t + 1, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 11, \\ p = 30t + 7, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 17, \\ p = 30t + 13, \; \; \; \; p = 30t + 23, \\ p = 30t + 19, \; \; \; \; p = 30t + 29} \ end {array}$

p₄, p₅ .. , , .

, . , . , , .

, . F(x) , x p₁, p₂, …, p_n. ? ( ), p₁, p₂, … , p_n - p_n+1 ( ). , F(p_n+1 -1) = 1 ( — ), F(p_n+1) = 2 ( p_n+1). , F(x) , p_n+1.

, F(x)? . , p₁, p₂, …, p_n?

p₁ = 2. , $\ frac {1} {2}$ p₁.

3. , $\ frac {1} {3}$ p₂. , 2 3 .

, 2, 3

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} + \ frac {1} {p_1 * p_2} = 1 - \ frac {1} {2} - \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2 * 3}.$

, :

$(1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2})$

, p₁, p₂, …, p_n,

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} -...- \ frac {1} {p_n} + \ frac {1} {p_1 * p_2} + \ frac {1} { p_1 * p_3} + ... + \ frac {1} {p_ {n-1} * p_ {n}} - \ frac {1} {p_1 * p_2 * p_3} -... + (- 1) ^ n \ frac {1} {p_1 * p_2 * ... * p_n}.$

$P (n) = (1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2}) (1- \ frac {1} {p_3}) ... (1- \ frac { 1} {p_n}) \ qquad \ qquad (1)$

P(n). , (n→∞), .

, F (x) = x * P (n) . , P(n) n . n 1 N, N - , P(n), .

? (1), , , p_n, $\ frac {1} {p_n}$ . . , 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. 4 9 . , $\ frac {4} {9}$ $\ frac {1} {2}$ . , , .

. , (, ) p_n+1- . , — . , , .

$n * ln (n) + n * ln (ln (n)) - \ frac {3} {2} n <p_n <n * ln (n) + n * ln (ln (n))$

n, 6.

$\ frac {x} {ln (x)} <\ pi (x) <1,25506 \ frac {x} {ln (x)}$

$\ pi (x)$ , - . , , . , .

. , , , , . - , .

. ( ). :

, 2, ?

2. -

p , p + 2 ?

, ?

p .

, 2020 . .

1.

: () ().

: , 5, .

2013 . 133 .

: , , .

, .

, . , . . 11 . .

: , , , ? . N, , .

$K \ geq N$ . p₁ p₂, K = p_1 + p_2 . , , , . p₁ – . — 2. , $2 + p_2 = K \ rightarrow p_2 = K-2$ . , K-2 ( K ) . N, , , N-2, . . , $\ pi (n) \ sim \ frac {n} {2}$ n→ ∞. , $\ pi (n) \ sim n * ln (n)$ n→ ∞.