Olimpíada matemática. William Lowell Putnam Mathematical Competition é uma competição matemática para alunos de graduação que estudam em universidades (faculdades) nos Estados Unidos e Canadá. A inspiração para as Olimpíadas foi William Lowell Putnam, um advogado e banqueiro americano. Realizado pela Mathematical Association of America anualmente desde 1938. Os prêmios em dinheiro são concedidos às cinco primeiras equipes do colégio ($ 25.000 para o primeiro prêmio) e aos 25 melhores alunos da competição individual ($ 1.000 para o primeiro lugar).
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A Olimpíada dura duas vezes por 3 horas, 12 problemas no total, 10 pontos para cada. A nota média que os alunos ganham é 1 ou 2. Vamos considerar um dos problemas mais difíceis desta Olimpíada.
Escolha 4 pontos aleatórios na esfera. Qual é a probabilidade de que o centro da esfera esteja dentro do tetraedro formado por esses pontos?
Vamos considerar uma versão bidimensional desse problema.
Considere 3 pontos aleatórios em um círculo. Qual é a probabilidade de que o centro do círculo esteja dentro do triângulo?
Você pode fixar dois pontos e jogar com o terceiro. É fácil perceber que existe uma certa zona, a projeção dos pontos ancorados em relação ao centro, dentro da qual o terceiro ponto deve cair para que a condição seja satisfeita. O círculo é então dividido em 4 partes. A probabilidade de atingir o terceiro ponto do arco é igual à razão do comprimento do arco para a circunferência. Qual é o comprimento do arco?
A probabilidade varia de 0 a 0,5 dependendo da localização dos dois primeiros pontos.
Qual é a probabilidade média?
Vamos consertar o primeiro ponto e brincar com o segundo. A probabilidade irá variar de 0 a 0,5, ou seja, a probabilidade média será de 0,25.
Resolvendo o problema de um círculo e três pontos - 25%.
É possível transferir esta abordagem para uma esfera e 4 pontos?
Fixamos três pontos e jogamos com o quarto. Vamos desenhar projeções de pontos fixos em relação ao centro e dividir a esfera em 8 partes com planos.
O centro da esfera estará dentro do tetraedro se o quarto ponto cair no triângulo esférico verde, que é "oposto" aos pontos fixos em relação ao centro. Qual é o tamanho médio da seção verde?
// Não venha com mais nada, improvise.
Você pode voltar ao caso bidimensional e pensar sobre de onde veio 1/4. De onde vem o 4?
Você pode ir de 3 pontos aleatórios em um círculo para outro problema. Vamos escolher dois diâmetros aleatórios. Então, para cada diâmetro, jogamos uma moeda, escolhendo assim onde ficará o ponto Pi, de qual extremidade do diâmetro. Em seguida, selecionamos aleatoriamente o terceiro ponto do círculo.
E então outro movimento astuto.
Vamos primeiro selecionar o terceiro ponto aleatoriamente e, em seguida, selecionar aleatoriamente dois diâmetros. Teremos 4 opções para colocar os pontos P2 P1:
Mas apenas uma dessas 4 opções contém uma solução quando o centro do círculo está dentro do triângulo:
Independentemente de escolhermos uma posição inicial aleatória do terceiro ponto e dois diâmetros, apenas uma das opções contém o centro do círculo dentro do triângulo:
Assim reformulamos o problema:
Com uma esfera, temos 8 opções de escolha de pontos, depois de fixar o primeiro ponto e escolher três diâmetros:
Apenas 1 de 8 satisfaz a condição de que o centro da esfera esteja dentro do tetraedro:
Resposta: 1/8
- A álgebra linear hardcore está aqui: Capturando a origem com pontos aleatórios: generalizações de um problema de Putnam
- Todos os problemas das Olimpíadas de 1992: A 53ª Competição Matemática William Lowell Putnam
Sábado, 5 de dezembro de 1992