🕴🏻 👩‍🎤 💈 Como desenhar uma estrela (e mais) em coordenadas polares 👨‍👧‍👦 👏 ◀️

A questão da fórmula para um polígono em coordenadas polares surge regularmente em recursos temáticos - e tão regularmente permanece sem uma resposta clara. Na melhor das hipóteses, encontra-se a solução por meio da função do restante da divisão - que não é "limpa" do ponto de vista matemático, pois não permite realizar transformações analíticas na função. Aparentemente, os verdadeiros matemáticos estão muito ocupados resolvendo problemas do milênio e procurando uma prova simples do teorema de Fermat para prestar atenção a tais problemas banais. Felizmente, neste caso, a imaginação é mais importante do que o conhecimento, e para resolver este problema não é necessário ser professor de ciências topológicas - basta o conhecimento ao nível da escola.

A fórmula para um polígono equilátero em coordenadas polares parece muito simples

ρ = \frac{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k) + π m}{2 n})}{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k \cos (n ϕ)) + π m}{2 n})}

$\rho = \frac{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k \cos (n \phi ))+\pi m}{2 n}\right)}$

e tem os seguintes parâmetros:

ϕ

$\phi$ é o ângulo;

n

$n$ é o número de vértices convexos;

m

$m$ - determina quantos vértices os lados ficarão em uma linha reta. Valores negativos também são permitidos para ele - o sinal determinará em que direção a estrela se curvará;

k

$k$ - rigidez - em

k = 0

$k=0$ obtemos um círculo independentemente de outros parâmetros, para

k = 1

$k=1$ - polígono com retas, com valores intermediários de

0

$0$ a

1

$1$ - figuras intermediárias entre um círculo e um polígono.

Com esta fórmula, você pode desenhar uma estrela de duas maneiras:

1)

n = 5, m = 3

$n=5, m=3$

n = 5 / 4, m = 0

$n=5/4,m=0$ . Neste caso, você precisa fazer duas curvas em vez de uma:

Parâmetro

m

$m$ afeta o polígono da seguinte maneira (aqui ele muda de -1 para 5):

Parâmetro

k

$k$ em animação:

Forma complexa e modificações

Você pode reescrever a fórmula original de forma complexa e, apesar da presença de unidades imaginárias nela, o valor do raio ainda permanecerá válido:

ρ = \frac{4^{1 / n} {(\sqrt{1 - k^{2}} + i k)}^{- 1 / n} (1 + {(\sqrt{1 - k^{2}} + i k)}^{2 / n} e^{\frac{i π m}{n}}) {(\sqrt{1 - k^{2} \cos^{2} (n ϕ)} + i k \cos (n ϕ))}^{1 / n}}{4^{1 / n} + e^{\frac{i π m}{n}} {(2 \sqrt{1 - k^{2} \cos^{2} (n ϕ)} + 2 i k \cos (n ϕ))}^{2 / n}}

$\small\rho = \frac{4^{1/n} \left(\sqrt{1-k^2}+i k\right)^{-1/n} \left(1+\left(\sqrt{1-k^2}+i k\right)^{2/n} e^{\frac{i \pi m}{n}}\right) \left(\sqrt{1-k^2 \cos ^2(n \phi )}+i k \cos (n \phi )\right)^{1/n}}{4^{1/n}+e^{\frac{i \pi m}{n}} \left(2 \sqrt{1-k^2 \cos ^2(n \phi )}+2 i k \cos (n \phi )\right)^{2/n}}$

À primeira vista, isso pode parecer inútil, já que a fórmula se tornou um pouco mais complicada - mas não tire conclusões precipitadas. Primeiro, não há arco-seno nele, o que muda completamente o significado matemático da fórmula e permite que você olhe de maneira diferente para a construção de um polígono estrelado. Em segundo lugar, também pode ser usado para obter fórmulas compactas para casos especiais, por exemplo

\frac{i^{t} {(i^{n t})}^{1 / n}}{1 + {(i^{n t})}^{2 / n}}

$\frac{i^t \left(i^{n t}\right)^{1/n}}{1+\left(i^{n t}\right)^{2/n}}$ . Em terceiro lugar (e o mais interessante), ele pode ser modificado criativamente e obtido de outras formas inesperadas. Para que o aparecimento de um possível componente imaginário no raio não cause ambigüidade no cálculo, você pode reduzi-lo imediatamente a coordenadas cartesianas multiplicando por

e^{i ϕ}

$e^{i \phi }$ . Aqui estão alguns exemplos de algumas das modificações:

\frac{(- 1)^{2 / 3} e^{i ϕ} {(i \cos (3 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (3 ϕ)})}^{1 / 3}}{(- 1)^{2 / 3} + 2^{2 / 3} {(i \cos (3 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (3 ϕ)})}^{2 / 3}}

$\frac{(-1)^{2/3} e^{i \phi } \left(i \cos (3 \phi )+\sqrt{\sin ^2(3 \phi )}\right)^{1/3}} {(-1)^{2/3}+2^{2/3} \left(i \cos (3 \phi )+\sqrt{\sin ^2(3 \phi )}\right)^{2/3}}$

\frac{e^{i ϕ} \sqrt{i \cos (2 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (2 ϕ)}}}{e^{i / 2} + \sqrt{2} {(i \cos (2 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (2 ϕ)})}^{3 / 2}}

$\frac{e^{i \phi } \sqrt{i \cos (2 \phi )+\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}}}{e^{i/2}+\sqrt{2} \left(i \cos (2 \phi )+\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}\right)^{3/2}}$

\frac{e^{\frac{1}{4} i (4 ϕ + π)}}{2 \sqrt{(- 1)^{1 / 4} \cos (2 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (2 ϕ)}} - 1 - i}

$\frac{e^{\frac{1}{4} i (4 \phi +\pi )}}{2 \sqrt{(-1)^{1/4} \cos (2 \phi )+\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}}-1-i}$

Como você provavelmente notou, a rotação do vetor deixou de ser uniforme - e justamente por causa do surgimento do componente imaginário no raio.

Quads e outras coisas

Nossa fórmula tem um caso especial maravilhoso - um quadrado, cuja fórmula pode ser escrita como

ρ = \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2 \cos (4 ϕ)}}}

$\rho = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos (4 \phi )}}}$

ρ = \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - \sin^{2} (2 ϕ)}}}

$\rho = \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 \phi )}}}$

(escolha qual você mais gosta).

Em um caso um pouco mais desenvolvido, você pode definir figuras intermediárias entre um círculo e um quadrado por meio de um ponto

(k, k)

$(k,k)$ no avião

ρ = \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - \frac{(2 k^{2} - 1) \sin^{2} (2 ϕ)}{k^{4}}}}}

$\rho = \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\frac{\left(2 k^2-1\right) \sin ^2(2 \phi )}{k^4}}}}$

Você também pode adicionar variação a essas formas, mantendo a condição de que passem pelo ponto

(k, k)

$(k,k)$ - modulando diretamente o próprio parâmetro

k

$k$ dependendo do ângulo para que ao passar pela diagonal, seu multiplicador seja igual a um. Por exemplo, substituindo

k

$k$ função

\frac{k}{1 - z \cos^{2} (2 ϕ)}

$\frac{k}{1-z \cos ^2(2 \phi )}$ , obteremos um parâmetro adicional

z

$z$ com o qual curvas adicionais podem ser ajustadas. Em particular, para

z = 1 / 4

$z=1/4$ você obtém o seguinte:

Em um caso ainda mais expandido, você pode definir não apenas um quadrado, mas um retângulo, e ainda em coordenadas polares:

ρ = \sqrt{\frac{4 a^{2} b^{2}}{((b^{2} - a^{2}) \cos (2 ϕ) + a^{2} + b^{2}) (\sqrt{1 - \frac{4 a^{2} b^{2} k \sin^{2} (2 ϕ)}{{((b^{2} - a^{2}) \cos (2 ϕ) + a^{2} + b^{2})}^{2}}} + 1)}}

$\rho = \sqrt{\frac{4 a^2 b^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right) \left(\sqrt{1-\frac{4 a^2 b^2 k \sin ^2(2 \phi )}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right)^2}}+1\right)}}$

E ainda calcule sua área (via integrais elípticas):

S = 4 a b \frac{(k - 1) K (k) + E (k)}{k}

$S=4 a b\frac{(k-1) K(k)+E(k)}{k}$

Nota

k

$k$ (

0

$0$

1

$1$ ) ,

π a b

$\pi a b$

4 a b

$4 a b$ .

Isso permitirá fazer perfis com uma transição de um círculo para um retângulo com uma área de seção controlada. Aqui, a área é constante:

E aqui a área se expande exponencialmente:

Vá para as coordenadas cartesianas

Qualquer fórmula em coordenadas polares pode ser expressa através de uma equação em coordenadas cartesianas, e de pelo menos duas maneiras - dependendo de qual será a aparência do gradiente na borda da figura. Para fazer isso, basta calcular o ângulo através do arco tangente das coordenadas e trazer a fórmula para uma constante através do vetor do raio subtraindo

0 = \sqrt{x^{2} + y^{2}} - \frac{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k) + π m}{2 n})}{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k \cos (n \tan^{- 1} (x, y))) + π m}{2 n})}

$0=\sqrt{x^2+y^2}-\frac{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)}$

ou divisão

1 = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k \cos (n \tan^{- 1} (x, y))) + π m}{2 n})}{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k) + π m}{2 n})}

$1=\frac{\sqrt{x^2+y^2} \cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}$

A segunda opção é preferível porque fornece gradientes retos ao longo dos lados do polígono.

Nota

, (0,0) - — , , (

- \cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k) + π m}{2 n}) \sec (\frac{2 \sin^{- 1} (k \cos (\frac{π n}{2})) + π m}{2 n})

$-\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right) \sec \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)$ ).

\cos (n \tan^{- 1} (x, y))

$\cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)$

\frac{(x + i y)^{n} + (x - i y)^{n}}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{n / 2}}

$\frac{(x+i y)^n+(x-i y)^n}{2 \left(x^2+y^2\right)^{n/2}}$ , A034839.

O valor da fórmula do lado direito da equação (no segundo caso) mudará de

0

$0$ antes

1

$1$ se ponto

(x, y)

$(x,y)$ entra na figura, e de

1

$1$ ad infinitum - se não. Ao escolher diferentes funções para convertê-lo em brilho, você pode obter diferentes opções de rasterização. Para o expoente (

e^{- x - 1}

$e^{-x-1}$ para o primeiro e

e^{- x}

$e^{-x}$ para a segunda opção) temos

ou, se com saturação

O filtro passa-baixo clássico pode ser usado

\frac{1}{1 + x^{p}}

$\frac{1}{1+x^p}$ , no qual

p

$p$ - a ordem do filtro, que determina o grau de atenuação.

Para a primeira opção:

E para o segundo:

Você também pode usar uma função contínua por partes definindo explicitamente os limites de interpolação.

Além da rasterização como tal, você também pode definir deformações - por exemplo, aperte um tabuleiro de xadrez em um círculo:

Ou até mesmo puxe-o sobre uma esfera:

Fórmula

x = \frac{u}{\sqrt{\frac{2}{1 + | \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + v^{2}} |}}}

$x=\frac{u}{\sqrt{\frac{2}{1+ \left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2} \right|}}}$

y = \frac{v}{\sqrt{1 + \frac{2}{| \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + v^{2}} |}}}

$y=\frac{v}{\sqrt{1+\frac{2}{\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right| }}}$

z = \sqrt{1 - \frac{1}{2} u^{2} (1 + | \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + v^{2}} |) - \frac{1}{2} v^{2} (1 + | \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + v^{2}} |)}

$z=\sqrt{1-\frac{1}{2} u^2 \left(1+\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right|\right)-\frac{1}{2} v^2 \left(1+\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right|\right)}$

Apêndice: como a fórmula foi derivada

O estilo clássico de contar histórias em textos matemáticos consiste na alternância de lemas / teoremas e suas provas - como se as declarações prováveis aparecessem na cabeça dos autores por uma revelação de cima. E embora haja alguma verdade nisso, mais freqüentemente o aparecimento de fórmulas é precedido por algum trabalho de pesquisa, cuja descrição pode dar uma compreensão maior de seu significado do que uma prova formal; e a fidelidade dos enunciados, por sua vez, pode ser traçada por meio da fidelidade das etapas que os levaram.

Portanto, aqui também - se o artigo começasse com uma fórmula em uma forma complexa, sua aparência seria não óbvia e contra-intuitiva, e as propriedades declaradas exigiriam prova adicional. Mas, na forma trigonométrica de registro, a história de seu aparecimento é perfeitamente possível de rastrear.

1) começamos com o caso mais simples - a tarefa de desenhar uma linha reta em coordenadas polares. Para fazer isso, você precisa resolver a equação

r \cos (ϕ) = 1

$r \cos (\phi )=1$ cuja solução é óbvia

r \to \sec (ϕ)

$r\to \sec (\phi )$ ...

2) além disso, o argumento da secante precisa ser "enrolado" para fornecer torções em uma linha reta. É nesse estágio que outras soluções usam um "hack sujo" na forma de um resto de divisão. Ele também usa a tomada sequencial da função seno direta e inversa -

\sin^{- 1} (\sin (ϕ))

$\sin ^{-1}(\sin (\phi ))$

Esta abordagem permite que você execute operações matemáticas padrão na fórmula resultante,

por exemplo

\frac{\partial \sin^{- 1} (\sin (ϕ))}{\partial ϕ} = \frac{\cos (ϕ)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (ϕ)}}

$\frac{\partial \sin ^{-1}(\sin (\phi ))}{\partial \phi }=\frac{\cos (\phi )}{\sqrt{1-\sin ^2(\phi )}}$

Graças à mesma notação, você pode simplificar a função quadrada em coordenadas polares para uma aparência mais estética, usando a representação complexa de funções trigonométricas. No Wolfram Mathematica, isso pode ser feito usando as funções TrigToExp e ExpToTrig:

O código

Sec[1/2 ArcSin[k Sin[2 \[Phi]]]]^2//TrigToExp//ExpToTrig//Sqrt[#]&//FullSimplify

↓

\frac{2}{\sqrt{2 + 2 \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} (2 ϕ)}}}

$\frac{2}{\sqrt{2+2 \sqrt{1-k^2 \sin ^2(2 \phi )}}}$

Graças à mesma gravação, você pode obter figuras intermediárias suaves entre um círculo e um quadrado usando um multiplicador adicional

k

$k$ , devido ao qual o argumento do arco seno fica aquém de um -

\sin^{- 1} (k \sin (ϕ))

$\sin ^{-1}(k \sin (\phi ))$ :

E para que a função intercepte um determinado ponto, você só precisa fazer uma equação e recalcular

k

$k$ :

\sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - k^{'} \sin^{2} (\frac{π}{2})}}} = k

$\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-k' \sin ^2( \frac{\pi}{2} )}}}=k$

O código

Solve[(Sqrt[2/(1+Sqrt[1-k Sin[2 \[Phi]]^2])] /. \[Phi]->Pi/4)==x, k] /. x->k

↓

k^{'} \to \frac{4 (k^{2} - 1)}{k^{4}}

$k'\to \frac{4 \left(k^2-1\right)}{k^4}$

3) parâmetros

n

$n$ e

m

$m$ foram apenas adicionados de forma criativa e seus efeitos foram investigados experimentalmente, na verdade.

4) Retângulo é fácil de obter indo para a visão paramétrica e "esticando" os eixos

x = a \cos (t) \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - \sin^{2} (2 t)}}}

$x=a \cos (t) \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 t)}}}$

y = b \sin (t) \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - \sin^{2} (2 t)}}}

$y=b \sin (t) \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 t)}}}$

Mas depois disso

t

$t$ não significará mais ângulo, agora

t

$t$ É simplesmente um parâmetro que descreve um vetor por meio de suas projeções nos eixos de coordenadas. Para voltar às coordenadas polares, você precisa encontrar o comprimento do vetor (através da raiz da soma dos quadrados), o ângulo (através do arco tangente da relação), expressar este ângulo através

ϕ

$\phi$ e substitua a expressão resultante

t

$t$ ...

O código

With[{r = Sqrt[2/(1 + Sqrt[
      

        
        
        
      

    
 1 - Sin[2 t]^2])]}, {Sqrt[(a r Cos[t])^2 + (b r Sin[t])^2], 
      

        
        
        
      

    
 ArcTan[(b r Sin[t])/(a r Cos[t])]}] // Simplify

↓

{\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^{2} \cos^{2} (t) + b^{2} \sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (2 t)} + 1}}, \tan^{- 1} (\frac{b \tan (t)}{a})}

$\left\{\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^2 \cos ^2(t)+b^2 \sin ^2(t)}{\sqrt{\cos ^2(2 t)}+1}},\tan ^{-1}\left(\frac{b \tan (t)}{a}\right)\right\}$

Solve[ArcTan[(b Tan[t])/a]==\[Phi], t]

↓

t \to \tan^{- 1} (\frac{a \tan (ϕ)}{b})

$t\to \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\phi )}{b}\right)$

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 Cos[t]^2 + b^2 Sin[t]^2)/(1 + Sqrt[Cos[2 t]^2])]
      

        
        
        
      

    
/. t -> ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b] // Simplify

↓

\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} \sec^{2} (ϕ)}{(a^{2} \tan^{2} (ϕ) + b^{2}) (\sqrt{\cos^{2} (2 \tan^{- 1} (\frac{a \tan (ϕ)}{b}))} + 1)}}

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^2 b^2 \sec ^2(\phi )}{\left(a^2 \tan ^2(\phi )+b^2\right) \left(\sqrt{\cos ^2\left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\phi )}{b}\right)\right)}+1\right)}}$

Simplificar essa fórmula já é mais difícil, e isso exigirá várias etapas:

vá para as coordenadas cartesianas substituindo $\phi \to \tan ^{-1}(x,y)$ ;
vá para a forma exponencial;
simplificar;
faça uma substituição reversa $x\to \cos (\phi )$ e $y\to \sin (\phi )$ ;
volte para a forma exponencial;
simplificar.

Como resultado, obtemos a seguinte fórmula:

O código

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 b^2 Sec[\[Phi]]^2) /
      

        
        
        
      

    
((1 + Sqrt[Cos[2 ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b]]^2])
      

        
        
        
      

    
(b^2 + a^2 Tan[\[Phi]]^2))] /. \[Phi] -> ArcTan[x, y] 
      

        
        
        
      

    
// TrigToExp // Simplify 
      

        
        
        
      

    
// # /. {x -> Cos[\[Phi]], y -> Sin[\[Phi]]} & 
      

        
        
        
      

    
// TrigToExp // Simplify // FullSimplify

↓

2 \sqrt{\frac{a^{2} b^{2}}{((b^{2} - a^{2}) \cos (2 ϕ) + a^{2} + b^{2}) (1 + \sqrt{\frac{{((a^{2} + b^{2}) \cos (2 ϕ) - a^{2} + b^{2})}^{2}}{{((b^{2} - a^{2}) \cos (2 ϕ) + a^{2} + b^{2})}^{2}}})}}

$2 \sqrt{\frac{a^2 b^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right) \left(1+\sqrt{\frac{\left(\left(a^2+b^2\right) \cos (2 \phi )-a^2+b^2\right)^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right)^2}}\right)}}$

Conclusão

Como você pode ver, mesmo em algo tão simples e banal como um polígono, você pode encontrar e inventar algo novo. E a história não termina aí - a fórmula da área para o caso geral permaneceu desconhecida, a fórmula para um polígono arbitrário, e não apenas regular, permaneceu desconhecida, e a expansão em potência e série trigonométrica foi deixada sem consideração. Também é provável que exista uma fórmula semelhante para o caso tridimensional.

Portanto, se você ouvir que na matemática tudo já foi inventado e só existem problemas que estão além da compreensão de uma pessoa comum - não acredite. Existem muitos problemas puramente práticos dos quais os verdadeiros matemáticos não estão cientes, ou não estão interessados em sua solução, devido à falta de entusiasmo suficiente em torno deles, ou porque eles já têm uma ideia aproximada de como resolvê-los. Não tenha medo de enfrentar problemas cujas soluções não estão disponíveis na Wikipédia, não tenha medo de publicar suas soluções e não tenha medo de ler os comentários nos artigos sobre a inutilidade de tudo.

PS baixe o documento original do Mathematica aqui .

Como desenhar uma estrela (e mais) em coordenadas polares

Forma complexa e modificações

Quads e outras coisas

Vá para as coordenadas cartesianas

Apêndice: como a fórmula foi derivada

Conclusão

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