Imagine que alguém pegasse uma tira de filme fotográfico de N cm de comprimento e resolvesse observar como partículas vindas do espaço deixam seus rastros nela. A escala experimental de densidade de probabilidade de filme descendente sobre as partículas irão ser descritos em uma distribuição uniforme sobre o intervalo de 0 a N . Neste experimento, o experimentador informa a distância k entre a borda esquerda do filme e o ponto onde a primeira partícula registrada atingiu. Como antes, você é obrigado a dar uma estimativa razoável para o desconhecido você de N .
Para resolver este problema, a seguinte suposição foi feita:
Imagine agora que em um experimento a distância do ponto de impacto da partícula até a borda esquerda do filme fotográfico fosse igual a P1 , e em outro experimento - P2 , com P1 <P2 . Não seria razoável, então, dar uma estimativa menor para a duração do filme fotográfico no primeiro experimento do que no segundo?
Eu me perguntei em números - é sempre e quão razoável é?
Estas notas não são uma continuação e discussão do artigo do qual foi tirada a citação, mas uma tentativa de ver como a formulação do problema em si, as restrições introduzidas, os pressupostos e condições adotados na fase de formalização se refletirão na resposta recebida. Não darei fórmulas e tentarei não usar termos especiais, parece-me que o próprio problema da dependência do resultado em suposições aceitas ou não aceitas será mais claramente visível.
Para começar, irei modificar, simplificar e fundamentar o experimento.
O destino ou nosso assistente tem uma bolsa em que estão os barris numerados em ordem, como em uma loteria. O assistente (para mim é mais fácil imaginá-lo do que o destino) secretamente tira um barril ao acaso e despeja no primeiro baú as bolas numeradas de acordo com o número do barril. Em seguida, ele repete o procedimento de remover o barril aleatoriamente e despeja o número apropriado de bolas numeradas no segundo baú. Há dois baús à nossa frente com um número desconhecido de bolas em cada um deles. Tiramos ao acaso uma bola do primeiro e uma bola do segundo baú, e fazemos uma suposição razoável de que a bola de numeração alta corresponde ao baú com um grande número de bolas.
Vamos estimar o quão razoável é a suposição?
Vamos formalizar e refinar o problema
1. Como os barris estão no saco, eles devem ser limitados a um determinado número. Tendo em mente a fonte original sobre o número de linhas de bonde, até agora o número de barris foi limitado a 30.
2. Mas o que devemos fazer se tirarmos do baú as bolas com os mesmos números? Temos opções:
2.1 admitir que o resultado foi malsucedido, não tomar decisões e pedir ao assistente para preencher os baús novamente.
2.2 jogar uma moeda e decidir ao acaso qual baú tem mais bolas. Não haverá resultados infelizes nesta opção.
2.3 decida que, uma vez que os números são os mesmos, o número de bolas nos baús também é o mesmo. Também não haverá resultados infelizes nesta opção.
Aqui quero observar que não escolho qual opção é melhor. Meu objetivo é ver como as diferentes opções afetarão a resposta.
3. Como temos um número diferente de resultados, surge a pergunta: "E de que número de resultados contar a parcela de respostas corretas?" De todas as experiências ou apenas de resultados de sucesso? Vamos contar as duas opções.
4. O assistente tirou o primeiro barril, olhou para o número, despejou o número correspondente de bolas no primeiro baú. Pare! E então o que ele fez com o barril removido? Ele tem duas opções: colocar o barril de volta na sacola ou não precisa colocá-lo de volta. Ou o que é o mesmo - o assistente pode pegar dois barris de uma vez e despejar bolas no peito de acordo com os números tirados nos barris, os auxiliares são preguiçosos, mas não vemos o que ele está fazendo ali. Nesse caso, nunca teremos um número igual de bolas nos baús e, portanto, resultados malsucedidos. Esse ponto claramente desvia da tarefa da citação, onde o barril volta para o saco, mas eu tenho outros objetivos, e não devolver o barril é uma situação típica da vida, vamos calcular essa opção.
Assim, temos três opções de como contar os resultados do experimento em que os números das bolas são iguais, duas opções para calcular a proporção de respostas corretas e duas opções para encher os baús com bolas. Um total de 12 variantes dos resultados do experimento!
Como a probabilidade da resposta correta dependerá do número de barris na bolsa do destino, ou seja, do máximo possível de bolas no peito? Talvez todas as opções sejam as mesmas? Talvez as opções tenham a mesma tendência? Foi nesse momento que tentei testar minha intuição, preenchendo a seguinte placa:
Acontece que, correndo, eu deveria treinar e treinar minha intuição. Limpei o prato de muitas de minhas considerações.
Para não me cansar de fórmulas que, embora bonitas, são recorrentes, e não posso reduzir fórmulas recorrentes a fechadas, descreverei o algoritmo geral de cálculo:
1. Para cada número de barris em uma bolsa, podemos fazer uma lista de todas as opções para encher baús com bolas.
Exemplo: Se o número de barris for 4, teremos 16 opções para encher dois baús pelo número de bolas: 1 e 1, 1 e 2, 1 e 3, 2 e 1, 2 e 2 ... 4 e 4.
2. Para cada variante de encher os baús, contamos o número de respostas corretas para três variantes de contagem de bolas iguais.
Exemplo: Para encher os baús 2 e 3, (no primeiro baú há 2 bolas, no segundo 3) você obtém a seguinte tabela.
3. Para o número de barris selecionado, some todas as respostas corretas para cada opção para encher os baús.
4. Calculamos a proporção de corretos para as duas opções de contagem (em relação ao número total de experimentos e ao número de experimentos bem-sucedidos).
5. Também contamos pontos de 3 a 4 para a opção quando o barril não retorna para a bolsa, ou seja, quando não podemos ter um número igual de bolas nos baús.
Contei o número de barris de 1 a 8 e 30 para mostrar a tendência. Aqui estão os gráficos.
Primeiro para a opção de quando o barril é devolvido ao saco
Com o aumento do número de barris no saco e, consequentemente, o aumento do possível número de bolas nos baús, aumenta a probabilidade de uma avaliação correta e diminui a diferença entre as opções. Curiosamente, a probabilidade nem sempre é superior a 0,5. O gráfico amarelo também é curioso, há uma queda e só depois uma alta. Em geral, o intervalo de 1 a 7 não era óbvio para mim.
Acontece que, se houver menos de 8 bolas, para a variante de contagem “iguais são considerados uma falha. A porcentagem de acertos é contada de todos os experimentos "uma resposta aleatória dará um resultado melhor do que seguir a regra" Mais número de bola significa que o baú contém mais bolas. "
Gráficos para a opção quando o barril não retorna ao saco e portanto não pode haver o mesmo número de bolas nos baús
Os gráficos são três, já que os dois são iguais, eles são marcados em vermelho.
Para quatro opções, a probabilidade de uma resposta correta cai e tende, aparentemente, a 0,5! (?) Em outras palavras, nessas opções para um grande número de bolas em baús, você não pode realizar um experimento, mas simplesmente jogar uma moeda - o resultado é o mesmo. Na verdade, por causa disso, resolvi calcular várias opções, esperava algumas surpresas. Não tenho nenhuma prova rigorosa de que a probabilidade tende exatamente a 0,5. Esta é novamente minha intuição, e muitas vezes falha.
Quero enfatizar novamente que essas notas não tratam de escolher a estratégia certa ou avaliar qual opção é melhor. O interesse era ver a influência de diferentes opções de condicionamento no resultado.
PS Como eu queria, consegui não usar fórmulas e usar um termo especial - uma fórmula recorrente apenas uma vez.
PPS Se você está com preguiça de assistir a Wikipedia, então a fórmula recorrente é quando você precisa ir para a casa número 30, mas você deve primeiro visitar todas as casas anteriores com números de 1 a 29.