Tomando decisões. Exemplo

Continuando o assunto, direi que olhei as publicações de outros autores do Habr sobre o assunto. Há interesse em problemas, mas ninguém quer entrar em teoria. Agindo como descobridores pioneiros. Seria ótimo se eles recebessem novos resultados, conquistas, mas ninguém se empenha por isso.



Mas, na verdade, fica pior do que já se sabe, muitos fatores não são levados em consideração, os resultados da teoria são usados ​​onde não recomenda fazê-lo e em geral tudo não parece muito sério, embora Habr, como deve ser entendido, não se esforce por isso. Os leitores não podem e não devem atuar como um filtro.

O conjunto original de alternativas, sua medição e avaliação

É sabido que os problemas para encontrar uma solução surgem apenas em situações de escolha de múltiplas alternativas. Para considerar uma situação de tomada de decisão, formular um problema de tomada de decisão (PD) específico, escolher um método para resolvê-lo, é necessário ter algumas informações iniciais sobre alternativas, uma relação de preferência.



Vamos mostrar na subseção quais métodos existem para obtê-lo. As alternativas têm muitas propriedades (recursos) que influenciam a decisão. Por exemplo, indicadores de propriedades de objetos (peso, volume, dureza, temperatura, etc.) podem ser quantitativos ou qualitativos.



Seja alguma propriedade do conjunto de alternativas de Ω expressa por um número, ou seja, existe um mapeamento ψ: Ω → E1, onde E1 é o conjunto de números reais. Então, tal propriedade é caracterizada por um indicador, e o número z = ψ (x) é chamado de valor (estimativa) da alternativa em termos do indicador.



Para avaliar alternativas, é necessário medir os indicadores.



Definição. A medição de um indicador de uma determinada propriedade é entendida como a atribuição de valores numéricos aos níveis individuais desse indicador em determinadas unidades. Nesse caso, a escolha da unidade de medida é importante.



Assim, por exemplo, se o volume de uma certa parte do contêiner é medido primeiro em metros cúbicos e depois em litros, a essência do indicador não mudará; apenas o número de unidades mudará. Essas métricas de propriedade podem ser dimensionadas, multiplicadas ou divididas por um valor constante para a métrica de propriedade.



Por outro lado, existem propriedades cujos indicadores não permitem tal manipulação de seus valores. O grau de aquecimento dos corpos é caracterizado pela temperatura e é medido em graus. O valor deste indicador + 10 ° e –15 ° não permite julgar quantas vezes o corpo com uma temperatura de + 10 ° é aquecido mais do que um corpo com uma temperatura de –15 °



Destes exemplos é possível (e importante) concluir que os índices volume e temperatura referem-se a diferentes tipos de propriedades, sobre os valores de z = ψ (x) das quais certas transformações f (z) = f (ψ (x)) ...



Ou seja, o conjunto de transformações admissíveis f (z) é tomado como base para determinar o tipo de escala em que o indicador de um determinado atributo (propriedade) é medido. Fazendo uma ou outra medição do indicador de uma característica destacada pelo pesquisador, chegamos à tarefa de determinar o tipo de escala em que a medição deve ser realizada.



Sem resolver este problema corretamente, podemos admitir o manuseio incorreto dos resultados das observações (medições) durante o seu processamento. Isso ocorre quando os valores dos indicadores passam por transformações tomadas fora do conjunto de transformações permitidas para um determinado tipo de escala.



Definição. Uma escala de medição é uma sequência de valores dos mesmos valores de vários tamanhos aceitos por acordo.

Vamos considerar com mais detalhes os principais tipos de escalas.







1. Escalas nominais . Escalas nominais são usadas quando um pesquisador lida com objetos descritos por algumas características. Dependendo se um determinado objeto possui um determinado valor de uma característica ou sua ausência, o objeto é referido a uma ou outra classe.



Por exemplo, se estamos falando sobre pessoas, o valor do recurso (a escala do recurso é formada por dois valores de sexo: masculino e feminino) permite que você atribua inequivocamente cada pessoa a uma determinada classe. Por esse motivo, a escala é chamada de escala de notas. Tal signo como profissão permite que uma pessoa seja chamada, por exemplo, de professor, carpinteiro ou de outra forma, de acordo com o valor do indicador da profissão.



A escala, neste caso, é formada pelos nomes de todas as profissões. Obviamente, nessa escala, o zero não é indicado, embora a ausência de profissão na disciplina permita que ele seja atribuído justamente à categoria de pessoas sem profissão. Os nomes das profissões não são ordenados de forma alguma nesta escala, embora sejam frequentemente organizados em ordem alfabética por razões de conveniência.



A partir dessas considerações, essa escala é chamada de escala de nomenclatura.

As transformações válidas de valores nesta escala são todas funções um para um: f (x) ≠ f (y) <=> x ≠ y.



2. Escalas ordinais . Se o traço estudado, por exemplo, a dureza do material, se manifesta de maneira diferente em objetos e tem valores que não podem ser medidos especificamente, mas pode-se julgar inequivocamente a intensidade comparativa de sua manifestação para quaisquer dois objetos, então eles dizem que o valor do traço é medido em uma escala ordinal. Um exemplo clássico disso é a dureza dos minerais. O ponto de referência é 0 na escala não está definida.



O valor da característica é definido como segue. O mineral mais duro do par em questão deixa um arranhão no outro. Todos os minerais dos valores desta característica podem ser arranjados da seguinte forma: primeiro o menos sólido, o segundo mais duro deixa o risco apenas o primeiro, o terceiro deixa o risco nos dois primeiros, e assim por diante.



A diferença entre a escala ordinal do nominal que o valor da característica falha na linha enquanto os valores na escala nominal nem podem ser solicitados. A desvantagem de uma escala ordinal é que ela não é proporcional.



É impossível responder à pergunta quanto ou quantas vezes um mineral é mais duro do que outro. As transformações admissíveis da escala ordinal consistem em todas as funções monotonicamente crescentes com a propriedade: x ≥ y => f (x) ≥ f (y).



3 -Escala de intervalo (intervalo). diferem das escalas de ordem porque, para as propriedades que descrevem, faz sentido não apenas a equivalência e as relações de ordem, mas também a soma de intervalos (diferenças) entre várias manifestações quantitativas de propriedades. Um exemplo típico é a escala de intervalo de tempo.



Intervalos de tempo (por exemplo, períodos de trabalho, períodos de estudo) podem ser adicionados e subtraídos, mas adicionar as datas de quaisquer eventos não faz sentido.



Outro exemplo, a escala de comprimentos (distâncias) - intervalos espaciais é determinada alinhando o zero da régua com um ponto, e a leitura é feita em outro ponto. Este tipo de escala também inclui as escalas de temperatura Celsius, Fahrenheit, Reaumur.



As transformações lineares são admissíveis nestas escalas, (x - y) / (z -v); x ∓ y; eles aplicam procedimentos para encontrar a expectativa matemática, o desvio padrão, o coeficiente de assimetria e os momentos deslocados.



4. Escala de diferenças (pontos) Escalas de diferenças diferem de escalas de ordem em que a escala de intervalos já pode ser julgada não só que o tamanho é maior do que outro, mas também quanto mais, em essência, esta é a mesma escala absoluta, mas seus valores são deslocados por algum valor relativo aos valores absolutos (x - y) <(z-v); x ∓ y;



5. Escala de relacionamento... A escala para a qual o conjunto de transformações admissíveis consiste em todas as transformações de similaridade é chamada de escala de relações. O ponto de referência é fixado nesta escala e a escala de medição pode ser alterada para ele.



Deixe esta escala medir o comprimento de um objeto. Nesse caso, você pode alternar da medição em metros para a medição em centímetros, diminuindo a unidade de medida em 100 vezes. Obviamente, neste caso, a razão dos comprimentos L (A) e L (B) de dois objetos A e B, medidos nas mesmas unidades, não mudará quando as unidades forem alteradas.



Os valores do indicador do traço, medidos nesta escala, permitem

responder à pergunta quantas vezes mais intensamente o traço se manifesta em um objeto do que em outro. Para tanto, é necessário considerar a razão dos valores L (A) / L (B) = k.



Se a razão for maior que um (k> 1), o valor do indicador de atributo para o primeiro objeto A é k vezes maior do que o de B, se k <1, então o valor do indicador de atributo para o objeto B é 1 / k vezes maior do que para A. é a multiplicação por um número inteiro positivo e apenas isso.



6. Escala absoluta . A mais simples de todas as escalas é uma escala que permite apenas uma transformação f (x) = x. Esta situação corresponde à única forma de medir o indicador da propriedade de um objeto, a saber, uma simples recontagem de objetos.



Essa escala é chamada de escala absoluta. Quando registramos o objeto x, não estamos interessados ​​em nada além deste objeto. A escala absoluta pode ser considerada como uma implementação particular de algumas outras escalas.

Tarefa de tomada de decisão. Obtendo uma matriz de relações

Listamos as configurações possíveis do ZPR, que incluem:

• ordenação linear de alternativas (o topo da cadeia é o melhor);
• destacando a melhor alternativa;
• destacando um subconjunto (não ordenado) das melhores alternativas;
• destacando um subconjunto ordenado das melhores alternativas;
• ordenação parcial de alternativas;
• divisão ordenada (parcialmente ordenada) de alternativas;
• partição não ordenada de alternativas (classificação).

Com base na análise de medidas de indicadores de propriedades de alternativas em diferentes escalas, os resultados das medidas podem ser apresentados de diferentes formas [1, 5].



1. Tabela de classificação. A tabela é obtida quando as medidas são feitas em escalas nominais e é uma tabela, cujas linhas são: o nome do objeto, e as colunas são os nomes das classes$$$X_1, X_2, X_3,$... e assim por diante Nas colunas classe 1, classe 2, etc., 1 é colocado se o objeto pertence a esta classe e 0 - se não pertence (Tabela Classes de objetos).



Na mesa da classe, objetos $$$x_1 ,x_2 є X_1, x_3 є X_2, x_4 є X_3.$



2. Matriz da relação de preferências. Obtido por medidas em escalas ordinais. Revelar preferências no conjunto de objetos Ω significa indicar o conjunto de todos os pares de objetos (x, y) desse conjunto para os quais o objeto x é preferível (por exemplo, mais difícil) do que o objeto y. A matriz de relacionamento de preferência é obtida da seguinte maneira. ( veja aqui, fig 2.15 )



Em construção$$$_{[n×n]}^p$matriz quadrada. Sua i-ésima linha corresponde ao i-ésimo elemento$$$x_i$ do conjunto Ω, e a j-ésima coluna ao elemento $$$x_j$... Na interseção da i-ésima linha e da j-ésima coluna, 1 é colocado se o objeto$$$x_i$ preferido sobre o objeto $$$x_j$, zero se o objeto $$$x_j$ preferido sobre o objeto $$$x_i$, 1/2 se objetos $$$x_i$ e $$$x_j$ indiferente, e nada se coloca - se os objetos são incomparáveis $$$x_i$ e $$$x_j$não pode ser comparado.



Um exemplo desse relacionamento de preferência é apresentado na matriz abaixo.





3. Tabela de indicadores. Obtido ao medir na escala de relações. As propriedades dos indicadores que serão medidos são selecionadas. A medição dessas propriedades é realizada, e os resultados da medição são registrados em uma tabela.



Em colunas$$$p_1, p_2, p_3, p_4$ As tabelas de razão de preferência contêm valores de indicadores de propriedade pelos quais os objetos são avaliados $$$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ e $$$x_7$...



Depois de receber os resultados das medições nestas formas de apresentação, precisamos expor os resultados na forma de relações, uma vez que vamos resolver o ZPR, contando com o aparato bem desenvolvido da teoria das relações binárias.



O mapeamento da tabela de preferências para a matriz de relação binária é o seguinte:





Da matriz de relacionamento de preferência $$$_{[4×4]}^p$para 4 alternativas apresentadas na tabela. A relação de preferência será a matriz$$$_{[4×4]}^p$que se parece com isto:





O mapeamento do scorecard para a matriz de razão de preferência é o seguinte: $$$a_{i,j}=1$, se:

1) o número de indicadores pelos quais o objeto$$$x_i$ preferido sobre o objeto $$$x_j$ mais do que o número de indicadores para os quais o objeto $$$x_j$ preferido sobre o objeto $$$x_i$;



2) para o objeto$$$x_i$nenhum dos indicadores assume o menor valor possível.



3) condição 1 implica que os indicadores para os quais o objeto$$$x_i$ não é pior do que o objeto $$$x_j$constituem a maioria de todos os indicadores em consideração.



No entanto, se esta condição for atendida, pode acontecer que de acordo com os indicadores para os quais o objeto$$$x_i$ pior objeto $$$x_j$, a diferença é significativa; Para reduzir o número de tais casos ao dar preferência a x, a condição 2 é introduzida.

Métodos para resolver o problema de tomada de decisão

Vamos, depois de receber os dados iniciais, temos a relação R no conjunto de alternativas $$$Ω= {(x_1, ...,x_n)}$... E a tarefa é tomar uma decisão. O método principal é a ordenação linear (classificação) de alternativas, ou seja, alinhar alternativas em uma cadeia em ordem decrescente de seu valor, adequação, importância, etc., do “melhor” ao “pior”.



A proporção R pode ser:

1. atitude não transitiva completa;
2. uma relação de ordem parcial;
3. ordem linear.

Somente no caso de linearidade da relação R, a estrutura de preferências atende à tarefa. Nesse caso, a classificação das alternativas do conjunto Ω é obtida diretamente pela construção de um diagrama de linha do conjunto ordenado. No diagrama, a alternativa$$$x_i$, será estritamente maior do que a alternativa $$$x_j$se preferir.



A solução do problema proposto para relações completas e transitivas é realizada por meio de métodos (algoritmo) para ordenação de alternativas e, para pedidos parciais, por meio de um algoritmo de reordenamento linear. Esses algoritmos serão discutidos nos parágrafos a seguir.



Classificação de alternativas . Seja a relação [Ω, R] completa e não transitiva. A propriedade de completude significa que todas as alternativas$$$Ω = {(x_1, ...,x_n)}$do conjunto são comparáveis ​​entre si. A presença de não transitividade só é possível se o gráfico de preferência G [Ω, R] contiver contornos.



É necessário transformar a estrutura do gráfico de relacionamento para que as contradições lógicas na forma de contornos sejam eliminadas. Se assumirmos que existe um contorno em relação a R$$$x_1, x_2, …,x_k, x_1,$ então, ao classificar alternativas $$$x_1$ deve estar localizado mais alto $$$x_2, x_3, …,x_k, x_1,$o que leva a uma contradição.

Vamos apresentar a seguinte afirmação [1,5].



Sejam B 'e B "dois contornos arbitrários de um gráfico da forma G [Ω, R], então se algum elemento$$$x_i$ є B 'domina o elemento $$$x_j$ є B '', então qualquer elemento $$$x_1$є B 'qualquer elemento domina $$$x_k$є B ''.



Esta proposta torna possível particionar o conjunto R em m subconjuntos$$$B_1, B_2, …,B_m$de tal modo que $$$B_i ∩ B_j=∅, ∀i,j є [1, m]; UB_i =Ω.$

Assim, o problema de ordenar as alternativas do conjunto divide-se em duas etapas:

1) a seleção dos contornos do gráfico, ou seja, partição do conjunto Ω em subconjuntos$$$B_1, B_2, …,B_m$e a ordenação do grupo desses subconjuntos;

2) classificação dos elementos de contorno selecionados na primeira etapa.



Algoritmo para identificar



os contornos de um grafo Existe um algoritmo simples para encontrar os contornos de um grafo [1]. Deixe ser$$$_{[n×n]}$ É a matriz de adjacência do grafo G [Ω, R], e $$$_{[n×n]}$–Matriz de unidades. Nós formamos$$$_{[n×n]}+ _{[n×n]}$, $$$(_{[n×n]}+ _{[n×n]})^2$, $$$(_{[n×n]}+ _{[n×n]})^3$,… Uma sequência de graus de matrizes, cujos elementos expressam o número de caminhos de comprimento no máximo 1, 2, 3… Para algum valor m ≤ n, obtemos a seguinte igualdade (uma matriz fixa):

$$$(_{[n×n]}+ _{[n×n]})^m=(_{[n×n]}+_{[n×n]})^{m+1}$...



É conhecido da teoria dos grafos [10] que a cada sistema de todas as linhas idênticas de uma matriz "estável" corresponde um subconjunto dos vértices do gráfico em um contorno. Agrupando os vértices correspondentes em classes, obtemos uma partição do conjunto original Ω em subconjuntos$$$B_1, B_2, …,B_m$...



É óbvio que entre esses subconjuntos pode-se encontrar tal subconjunto$$$B_im$que os elementos deste subconjunto não serão dominados por nenhum elemento de outros subconjuntos. Este subconjunto será considerado o melhor e ocupará o primeiro lugar no ranking em ordem decrescente de preferência.



Em seguida, encontramos o melhor subconjunto entre os subconjuntos restantes usando o mesmo princípio e o colocamos em segundo lugar.

Continuaremos este procedimento até que todos os subconjuntos ocupem seus lugares no ranking.



Deixe a relação de preferência R ser dada no conjunto Ω pela matriz$$$_{[6×6]}$...





O gráfico de relação R é mostrado na Fig. G.





Figura: D. Gráfico de relação não transitiva R



Para implementar a primeira etapa de ordenação dos elementos de um conjunto, é necessário selecionar os contornos do gráfico G [Ω, R]. Isso é feito elevando a matriz de adjacência do grafo a potências sucessivas até que as matrizes correspondam.



Nós temos$$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})$, $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^2$, $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^3$...

A seguir, calculamos sequencialmente as potências crescentes da matriz, somando-as com a matriz unitária da dimensão correspondente até que a matriz pare de mudar:





Porque $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^2 =(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^3$, nos podemos concluir que $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^2 = (_{[6×6]}+ _{[6×6]})^k$, para k ≥ 2. A partir da análise da matriz $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^2$ segue-se que as linhas correspondentes aos elementos $$$x_1,x_4,x_6$coincidir, isso indica que esses elementos pertencem ao mesmo contorno do gráfico G [Ω, R].



Os elementos$$$x_1,x_4,x_6$ formar um conjunto $$$B_1 =(x_1,x_4,x_6)$... Outro contorno é formado por elementos$$$x_2,x_3,x_5$que estão incluídos no conjunto $$$B_2 =(x_2,x_3,x_5)$...



Assim, particionamos o conjunto em m = 2 classes$$$B_1, B_2$... Vamos realizar uma ordenação de grupo desses subconjuntos. Para fazer isso, você precisa encontrar algum elemento$$$x_i є B_1$qual elemento domina $$$x_j є B_2$...



Isso significará a superioridade do subconjunto$$$B_1$ sobre $$$B_2$... Em nosso exemplo$$$x_1 є B_1$ domina $$$x_2 є B_2$... Portanto, o subconjunto$$$B_1$ domina $$$B_2$... A representação gráfica da dominância na partição Ω é mostrada na Fig. QC.





Figura: QC. Classificação dos contornos selecionados no primeiro estágio



Algoritmo para classificar os elementos dos contornos . É possível colocar os elementos de uma relação no mesmo contorno, são equivalentes entre si ou existem diferenças suficientemente sutis entre eles para distingui-los? Acontece que tal possibilidade, via de regra, existe [1].



Vamos denotar por$$$B_{h_{[n×n]}}$a matriz de adjacência do h-ésimo contorno. Vamos apresentar o conceito$$$p^i(k)$é a força de ordem k do elemento i, cujo valor é calculado como a soma dos elementos da i-ésima linha da matriz $$$B_{h_{[n×n]}}^k$(1).



Deixe ser$$$b_{h_{[i,j]}}^k$É o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz, então





A força relativa da ordem k-ésima do elemento i é entendida como



À medida que k aumenta sem limites (k → ∞), o número $$$π_i(k)$tende a um certo limite π, que ainda chamaremos de força do elemento i. Vetor$$$_{[n]} = (π_1,...,π_n)$é chamado de vetor limite.



Devido ao teorema de Perron-Frobenius [1], o limite sempre existe. O autovetor normalizado da matriz de adjacência do contorno coincide com seu vetor limite. Portanto, o vetor$$$_{[n]} = (π_1,...,π_n)$(2)



pode ser encontrado sem calcular as forças integradas$$$p^i(k)$, resolvendo o sistema de equações lineares

$$$B_{h_{[n×n]}} · _{[n]} = λ_{[n]}$, (3)

onde λ é a maior raiz real não negativa da equação característica

$$$det(λ_{[n×n]}- B_{h_{[n×n]}}) = 0$(4)

Deve-se notar que o autovetor normalizado de uma matriz indecomponível não negativa não muda quando a matriz é multiplicada por um número s> 0, bem como quando é somado com uma matriz da forma sE.



Em seguida, os elementos de contorno são ordenados, diminuindo os valores dos componentes de vetor correspondentes$$$_{[n]}$, ou seja, o elemento i domina o elemento j quando$$$π_i >π_j$...



Nós classificaremos os elementos do conjunto$$$B_1 =(x_1,x_4,x_6)$... Vamos construir uma matriz de preferência para este conjunto





O vetor de forças integradas de 1ª ordem para os elementos $$$(x_1, x_4, x_6)$se parece com (1,1,2), o vetor de forças relativas P (k) = (1 / 4,1 / 4,2 / 4).

Classificação do item$$$(x_1, x_4, x_6)$a resistência de 1ª ordem é mostrada na Fig. R.





Figura: R. Classificação dos elementos



Vamos encontrar vetores que caracterizam as forças de 2ª, 3ª, 4ª e 5ª ordens.





Uma representação gráfica da classificação é mostrada na Fig. P.







Fig. C - Cadeia



Fazendo a ordenação dos elementos do conjunto B2 de forma semelhante, obtemos os resultados apresentados na Fig. Certo.



A partir da combinação da ordenação dos elementos do conjunto B1 e B2, passamos à ordenação final dos elementos do conjunto Ω (Fig. C).

Reordenação linear de ordens parciais estritas

Seja a relação R (Fig. A abaixo no texto), obtida como resultado da agregação dos julgamentos individuais dos especialistas, é uma relação de ordem parcial sobre o conjunto Ω. Nesse caso, Ω é um conjunto ordenado. A construção de um ordenamento linear de alternativas consiste em obter avaliações globais de suas "capacidades" em escala ordinal.



Por alguma razão, alguns especialistas não podem comparar certos pares de alternativas em termos de preferência. Nesse caso, a relação agregada R no conjunto Ω não será uma ordem linear. Obviamente, isso leva ao problema de reordenamento linear das alternativas de Ω. Muitas vezes, esse reordenamento é possível de várias maneiras.



A presença de múltiplas ordenações lineares para uma ordenação parcial indica que a "ordenação intrínseca" na estrutura é insuficiente para uma única ordenação linear. Assim, torna-se necessário resolver o problema de reordenamento linear de ordens parciais. Seja R uma ordem parcial.



Teorema (Spielrein [5, 10]). Qualquer ordem R em um conjunto pode ser estendida a uma ordem linear neste conjunto.



Um corolário do teorema de Spielrein: qualquer reordenação linear de um subconjunto$$$Ω_i ⊆ Ω$pode ser estendido para um reordenamento linear de todo o conjunto ordenado Ω.



Se X é um subconjunto em Ω consistindo em alternativas incomparáveis, então qualquer ordenação linear de X pode ser estendida para uma ordenação linear de todo o conjunto Ω. Neste caso, a ordem de R é expressa em termos de ordens lineares$$$R_i$...



Em virtude do teorema de Spielrein, no conjunto Ω existe uma numeração$$$x_1, x_2,...,x_n$elementos deste conjunto. A numeração de um conjunto ordenado de n elementos Ω, com uma dada relação de ordem R, é um mapeamento um-para-um do conjunto Ω em si mesmo, ou seja, em {1, 2, ..., n}, em que o elemento “maior” em relação à ordem corresponde ao número maior [5]. A seguir, por classificação de elementos, entendemos qualquer reordenação linear dessa ordem. Observe que a numeração de um conjunto ordenado representa sua dimensão.



No caso geral, o problema de encontrar ordenações adicionais lineares é reduzido para encontrar todas as numerações admissíveis do conjunto ordenado parcial original. Você pode escrever todas as permutações de elementos de Ω, dos quais haverá n! e para cada verifique a condição de que o elemento “maior” corresponda ao número maior. No entanto, esse método de localizar todos os pedidos adicionais é muito trabalhoso e ineficiente.



Para um conjunto ordenado Ω com uma dada ordem R nele, um elemento x 'do conjunto Ω é chamado de máximo se não houver nenhum elemento x estritamente maior, ou seja, se x> x 'não vale para nenhum x є Ω. Um elemento x '' é chamado de maior elemento do conjunto ordenado [Ω, R] se for maior do que qualquer outro elemento x, ou seja, para qualquer x є Ω, x ''> x [5].



Se houver um elemento maior em um conjunto ordenado, será o elemento máximo. Se um conjunto ordenado tiver um único elemento máximo, será o maior elemento. Em um conjunto parcialmente ordenado, vários elementos máximos são permitidos.



Para qualquer numeração do conjunto de n elementos Ω, o número N é atribuído ao elemento máximo. Todas as numerações do conjunto Ω podem ser obtidas se todas as numerações de todos os subconjuntos obtidos de Ω forem conhecidas pela exclusão de um de tais elementos máximos. A mesma técnica é aplicada a cada subconjunto [7]. Considere um algoritmo para construir todas as numerações do conjunto ordenado [Ω, R].



1. Um gráfico auxiliar [β, γR] do conjunto ordenado [Ω, R] é construído, os vértices dos quais satisfazem as condições:



a) são subconjuntos de Ω;



b) para quaisquer dois subconjuntos X, Y є β, é verdade: (X, Y є γR) se o

subconjunto Y pode ser obtido a partir do subconjunto X removendo um de seus elementos máximos (Figs. A e AA).





2. Para cada subconjunto de um elemento do conjunto γR, escreva sua numeração única. Para obter todas as numerações do subconjunto X, é necessário enumerar todos os subconjuntos adjacentes e para cada subconjunto continuar todas as suas numerações. Como resultado, todas as numerações do conjunto Ω serão obtidas, ou seja, todas as extensões lineares de ordem R.



O problema é encontrar todas as ordens lineares adicionais de ordem parcial, cujo diagrama é mostrado na Fig. A. Não há informações a este respeito, por exemplo, se a alternativa domina$$$x_1$alternativa $$$_2$ ou vice-versa, e também para pares $$$(_3, _6);(_4, _5)$... Isso significa que A é uma ordenação parcial. Existem muitas (22) opções para concluir em uma ordem linear, que é desejável trazer para uma única. Isso é possível com o envolvimento de informações adicionais sobre as alternativas obtidas a partir de um estudo detalhado da situação.



1. Construímos um gráfico auxiliar [β, γR], começando com o conjunto$$$(x_1, x_2, x_3,x_4, x_5, x_6)$e abaixo. O número próximo ao arco do gráfico indica ao deletar qual elemento máximo foi obtido o subconjunto para o qual esta seta é direcionada (Fig. AA).



2. Formamos a mesa. AAA para encontrar todas as numerações de subconjuntos que são vértices do gráfico [β, γR]. O preenchimento da tabela é realizado linha por linha de cima para baixo. Cada linha é a numeração do subconjunto registrado na coluna esquerda da tabela (Tabela AAA).



3. Ao compilar a numeração do subconjunto X, que consiste em k elementos, é necessário reescrever toda a numeração previamente escrita (para o subconjunto anterior) dos subconjuntos Y є γR (x) e atribuir um número ao elemento que complementa Y a X.





O último bloco (inferior) (Tabela AAA) contém todas as numerações da reordenação linear do conjunto Ω. Uma representação gráfica desses novos pedidos é mostrada na Fig. AAA.





Figura: AAA. Representação gráfica das encomendas



Deve-se notar que existem 6 ordens lineares em um conjunto de 6 elementos! ou 720, e reordenamento linear do conjunto Ω com a relação dada pelo gráfico mostrado na Fig. AA, 22. Isso também é suficiente para tomar uma decisão.

Existem oportunidades para reduzir o número de tais opções? Sim, existem.

Para reduzir o número de pedidos adicionais lineares, você precisa usar informações adicionais.

informação adicional

Seja [Ω, R] a relação inicial, então a informação adicional pode ser representada como uma razão δ no conjunto Ω, onde a condição (x, y) є δ, ou seja, (x> y) é interpretado como uma mensagem de que o objeto x domina o objeto y;

a razão δ pode então ser considerada como um conjunto de mensagens semelhantes de informações sobre a dominância dada como uma razão binária δ, há dois casos possíveis ao usar informações adicionais:

1. o gráfico de relação R∪δ contém contornos;
2. o gráfico da relação R∪δ não contém contornos.

No primeiro caso, a ordenação linear do conjunto Ω com uma dada razão R∪δ é realizada usando o algoritmo de classificação

considerado anteriormente.



No segundo caso, a ordenação linear do conjunto Ω com a razão R∪δ dada nele é realizada usando o algoritmo de reordenamento linear

considerado acima. Deve-se notar que a relação R∪δ, que não contém contornos, pode ser intransitiva e, portanto, não uma ordem parcial.



Para uma saída bem-sucedida dessa situação, é necessário que a informação adicional δ e a razão inicial R sejam fornecidas na forma de diagramas de Hasse, ou seja, sem indicação explícita de links transitivos. O valor da informação adicional será determinado por quantas vezes o número de pedidos adicionais lineares diminui quando ele é usado.



Por exemplo, se a informação for recebida que $$$x_2$ domina $$$x_4$, ou seja, $$$x_2>x_4$, o número de novos pedidos lineares diminuirá de 22 para 19 e, se as informações chegarem: $$$x_1>x_2$, o número de encomendas lineares será reduzido pela metade. Assim, surge a pergunta: quais informações serão mais valiosas, ou se você adicionar qual razão δ, o número de ordenações adicionais diminuirá mais?



Para resolver este problema para todos os pares de elementos$$$(x_i, x_j)$os conjuntos Ω, que não estão incluídos na relação R, no bloco inferior da Tabela. AAA, você precisa calcular$$$n_{ij}$ - quantas vezes o número do item $$$x_i$ mais número de item $$$x_j$, ou seja, elemento$$$x_i$ fica acima do elemento $$$x_j$ e $$$n_{ji}$ - quantas vezes um item $$$x_j$ fica acima do elemento $$$x_i$...

O valor das informações adicionais sobre o relacionamento neste par será quanto maior, menor será a diferença$$$|n_{ij} - n_{ji}|$... Maior de números$$$n_{ij}, n_{ji}$será igual ao número de reordenações do conjunto [Ω, R∩δ]. Para o exemplo considerado, obtemos um resumo das características da representação gráfica dos novos pedidos





Da análise da tabela conclui-se que as

informações mais úteis serão as informações sobre o relacionamento em pares$$$(x_1, x_2)$ e $$$(x_4, x_5)$... A obtenção de informações adicionais sobre a relação em qualquer um desses pares leva a uma redução pela metade do número de ordens adicionais lineares.

Conclusão

A formulação e solução do ZPR só é possível em uma situação de muitas alternativas e na escolha da melhor. Se não houver escolha, siga o caminho em que está.

As decisões tomadas por um tomador de decisão são baseadas em sua preferência, que é descrita por uma relação de preferência. A presença da relação permite construir um modelo matemático de pesquisa. A incerteza nas preferências é eliminada usando informações adicionais que não são especializadas.



É dada atenção à consideração de medidas e estimativas dos valores dos indicadores das propriedades dos objetos. São apresentados exemplos de várias escalas que são frequentemente ignoradas.

As possíveis formulações de ZPR e as informações necessárias para sua solução são listadas.



Usando um exemplo numérico específico, é mostrada a aplicação de métodos algébricos para resolução de ZPR, sem o uso de amostras estatísticas e métodos de processamento empírico.

O método é baseado no resultado do teorema sobre a possibilidade de estender uma ordem parcial a uma linear (perfeita).

Lista de literatura usada

1. Berge K. Teoria dos grafos e sua aplicação. - M.: IL, 1962.-- 320 p.

2. Vaulin AE Matemática discreta em problemas de segurança de computadores. Parte I. SPb.: VKA com o nome de A.F. Mozhaisky, 2015 .-- 219 p.

3. Vaulin AE matemática discreta em problemas de segurança de computador. II. SPb.: VKA com o nome de A.F. Mozhaisky, 2017 .-- 151 p.

4. Vaulin AE Métodos de pesquisa de complexos de informática. Questão 2. - L.: VIKI eles. A.F. Mozhaisky, 1984.-- 129 p.

5. Vaulin AE Metodologia e métodos de análise de sistemas informáticos de informação. Edição 1.– L.: VIKI im. A.F. Mozhaisky, 1981.-- 117 p.

6. Métodos Vaulin AE de processamento digital de dados: transformações ortogonais discretas. - SPb.: VIKKI eles. A.F. Mozhaisky, 1993.-- 106 p.

7. Kuzmin VB Construção de soluções de grupo em espaços de relações binárias nítidas e fuzzy. - M: Nauka, 1982. - 168 p.

8. Makarov IM et al. A teoria da escolha e tomada de decisão - Moscou: Fizmatlit, 1982. –328 p.52.

9. Rosen V.V. Objetivo - otimização - solução - M.: Rádio e comunicação, 1982. - 169 p.

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