Três matemáticos têm uma resposta para a questão fundamental sobre caminhos retos em um sólido platônico de 12 lados
Apesar de os matemáticos já terem mais de 2.000 anos [ e, talvez, até mais / aprox. trad. ] analisam a estrutura de cinco poliedros regulares (sólidos platônicos) - tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro - ainda não sabemos muito sobre eles.
E assim, três matemáticos responderam a uma das questões mais básicas sobre o dodecaedro.
Digamos que você esteja em um dos vértices de um poliedro regular. Existe um caminho direto pelo qual se pode retornar ao ponto de partida sem passar por nenhum dos outros vértices? Para quatro outros poliedros regulares composta por quadrados ou triângulos equiláteros - tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro - matemáticos recentemente dadaresposta negativa a esta pergunta. Qualquer caminho reto partindo de um dos vértices irá colidir com outro vértice, ou irá sempre serpentear ao longo da superfície da figura, nunca retornando ao ponto inicial. No entanto, os matemáticos não sabiam o que esperar de um dodecaedro composto de 12 pentágonos.
Agora Jadev Atreya , David Olicino e Patrick Hooper mostraram que há de fato um número infinito de tais caminhos no dodecaedro. O artigo , publicado em maio na revista Experimental Mathematics, mostra que esses caminhos podem ser divididos naturalmente em 31 famílias.
Encontrar uma solução exigiu o uso de tecnologia moderna e a compilação de algoritmos de computador. “Há cerca de vinte anos, essa questão estava fora de alcance; 10 anos atrás, seria necessário um esforço incrível para escrever todos os programas necessários; e só hoje todos os fatores se juntaram ”, escreveu Anton Zorich do Jassi Mathematical Institute em Paris por e-mail.
Este projeto começou em 2016, quando Atreya da University of Washington e Olicino do Brooklyn College começaram a brincar com um conjunto de formas planas que se dobravam em um poliedro regular. Durante a montagem do poliedro, Olicino percebeu que o material acumulado recentemente na geometria plana pode ser útil para a compreensão de trajetórias retas no dodecaedro. “Literalmente montamos essas peças a partir de peças espalhadas”, disse Atreya. "A simples curiosidade dos pesquisadores coincidiu com uma nova oportunidade."
Junto com Hooper, do City College de Nova York, os pesquisadores descobriram como classificar todos os caminhos retos que saem de um canto e entram nele, contornando outros cantos.
Sua análise é uma "solução elegante", como disse Howard Mazur .da Universidade de Chicago. "Este é um daqueles casos em que posso dizer sem hesitação: Uau, porque não disse!"
Simetrias ocultas
Embora os matemáticos venham falando sobre caminhos retos no dodecaedro por mais de um século, o interesse neste tópico renasceu nos últimos anos graças aos novos conhecimentos adquiridos no campo das "superfícies de transferência". Essas superfícies são formadas pela colagem dos lados paralelos de um poliedro. Eles provaram ser muito úteis para explorar uma ampla gama de tópicos relacionados a caminhos retos ao longo de formas com ângulos - desde as trajetórias de bolas de bilhar a questões sobre se um único raio de luz pode iluminar uma sala inteira com paredes espelhadas.
A ideia básica em todas essas tarefas é desdobrar a forma para que seja mais fácil estudar os caminhos que a seguem. Para entender caminhos retos ao longo de um poliedro regular, você pode começar cortando bordas suficientes para que possam ser expandidas em um plano, formando, como dizem os matemáticos, uma rede. Uma das redes para um cubo, por exemplo, é uma forma de "T", que consiste em seis quadrados.
Um dodecaedro de papel feito em 2018 por David Olicina e Jadev Atreya para demonstrar a capacidade de conduzir um caminho de um vértice de volta a ele sem cruzar os outros.
Imagine que fizemos uma varredura no dodecaedro e agora estamos caminhando em uma determinada direção. Mais cedo ou mais tarde tropeçaremos em uma borda da rede, após o que nosso caminho saltará para o pentágono adjacente (aquele que estava colado ao atual antes de cortarmos nosso dodecaedro). Ao saltar, o caminho gira simultaneamente em um ângulo, cujo valor é divisível por 36 em graus.
Para evitar todos esses saltos e curvas, quando encontrarmos uma aresta, poderíamos colar uma nova cópia girada da rede nela e continuar caminhando em linha reta. Então adicionaremos redundância: teremos dois pentágonos diferentes, denotando o pentágono do dodecaedro original. Nós complicamos nosso mundo, mas simplificamos nosso caminho. Podemos continuar adicionando uma nova rede sempre que precisarmos ultrapassar as fronteiras do nosso mundo.
Quando nosso caminho passar por 10 redes, giraremos nossa malha original em todos os ângulos possíveis divisíveis por 36, e a orientação da próxima malha que adicionarmos será a mesma com a qual começamos. Acontece que a 11ª rede é obtida do original por uma simples mudança - como dizem os matemáticos, por transferência. Em vez de colar a 11ª malha, podemos simplesmente colar a borda da 10ª malha à borda paralela correspondente da malha original. Nossa figura não será mais plana, mas os matemáticos acreditam que ela "lembra" a geometria plana de sua encarnação anterior - então, por exemplo, os caminhos são considerados retos se estivessem retos em uma figura que ainda não foi colada. Depois de termos feito todas as colagens possíveis das arestas paralelas correspondentes, obtemos a chamada. superfície de transferência.
Atreia tatuou em sua mão direita sua superfície de transferência favorita - o pentágono duplo. A
superfície resultante é uma representação altamente redundante do dodecaedro, na qual 10 cópias de cada pentágono estão envolvidas. E acabou sendo muito mais complexo - é colado na forma de um donut com 81 furos. No entanto, esta forma complexa permitiu aos três pesquisadores compreender a rica teoria das superfícies de transferência.
Diante de uma superfície tão gigantesca, os matemáticos arregaçaram as mangas - figurativa e literalmente. Depois de trabalhar com ela por vários meses, eles perceberam que a superfície do donut de 81 buracos forma uma super-apresentação não apenas do dodecaedro, mas de uma das superfícies de transferência mais comumente estudadas. Este é um pentágono duplo, que é obtido colando dois pentágonos ao longo de uma das bordas e, em seguida, colando todos os lados paralelos para fazer um donut com dois orifícios e um grande conjunto de simetrias.
Além disso, esta figura está tatuada no braço de Atreya. “Eu já conhecia e amava esse pentágono duplo”, disse Atreya, que fez a tatuagem um ano antes de ele e Olicino começarem a pensar no dodecaedro.
Como o pentágono duplo e o dodecaedro são primos geométricos, um alto grau de simetria do primeiro pode ajudar a entender a estrutura do último. “Esta é uma simetria latente fantástica”, disse Alex Eskin, da Universidade de Chicago (que aconselhou Atreya em sua tese de doutorado há 15 anos). "Que o dodecaedro tenha tal grupo de simetria latente é bastante notável."
Jadev Atreya compartilha como ele e seus colegas resolveram o antigo problema de encontrar caminhos retos no dodecaedro.
A relação entre essas superfícies permitiu que os pesquisadores tirassem proveito do algoritmo de análise de superfície de transferência altamente simétrico desenvolvido por Miriam Finster do Instituto de Tecnologia de Karlsruhe. Adaptando seu algoritmo, os pesquisadores conseguiram encontrar todos os caminhos retos no dodecaedro que saem e retornam a um vértice, e os classificaram com base nas simetrias ocultas do dodecaedro.
Atreya descreve essa análise como "um dos projetos mais interessantes de toda a minha carreira". Jadev diz que é muito importante brincar constantemente com coisas diferentes.
O novo resultado sugere que mesmo nos objetos que as pessoas estudam há milhares de anos, os segredos podem estar à espreita, disse Eskin. "Acho que mesmo para esses três matemáticos foi uma surpresa que eles pudessem dizer algo novo sobre o dodecaedro."