Por que os matemáticos gostam de provar o mesmo resultado de maneiras diferentes?
A concentração de primos, indicada por pontos amarelos nesta espiral hexagonal de inteiros positivos, diminui com a distância do início da reta numérica. Essa regularidade muitas vezes comprovada é descrita pelo teorema da distribuição de números primos.
"Você não pode acreditar em Deus, mas precisa acreditar no Livro", disse certa vez o matemático húngaro Pal Erdos... O livro, que existe apenas em teoria, contém as provas mais elegantes dos teoremas mais importantes. A afirmação de Erd sugere a motivação dos matemáticos para continuar procurando por novas provas de teoremas já comprovados. Um de seus favoritos é o teorema da distribuição dos primos, de forma que eles são divisíveis apenas por si próprios e por 1. E embora os matemáticos não saibam se a prova entrará no Livro, dois rivais competem pelo primeiro lugar, provas que simultânea e independentemente encontrado em 1896 por Jacques Hadamard e Charles Jean de La Vallée-Poussin .
Então, o que exatamente esse teorema afirma?
O teorema da distribuição dos números primos permite aproximar o número de primos que não ultrapassa um determinado número n. Esse valor é chamado de π (n), onde π é a função de distribuição dos números primos [ não relacionado ao número π / aprox. trad.] Por exemplo, π (10) = 4 porque há 4 números primos até 10 (2, 3, 5 e 7). Da mesma forma, π (100) = 25, uma vez que existem 25 primos entre os primeiros 100 números. Entre os primeiros 1000 números, existem 168 primos, então π (1000) = 168 e assim por diante. Observe que, ao observar os primeiros 10, 100 e 1000 inteiros, a porcentagem de primos neles caiu de 40% para 25% e 16,8%, respectivamente. Esses exemplos sugerem, e o teorema dos números primos confirma que a densidade dos primos que não excedem um determinado número diminui à medida que esse número aumenta.
Mas mesmo se você tivesse uma lista ordenada de inteiros de até, digamos, um trilhão, quem iria querer calcular manualmente π (1.000.000.000.000)? O teorema dos números primos oferece uma oportunidade de economizar energia.
Diz que π (n) é "assintoticamente igual" a n / ln (n), onde ln é o logaritmo natural. A igualdade assintótica pode ser considerada uma igualdade aproximada, embora isso não seja inteiramente verdade. Por exemplo, vamos estimar o número de primos que não excedem um trilhão. Em vez de contar primos individuais para calcular π (1.000.000.000.000), você pode usar este teorema e descobrir que há aproximadamente 1.000.000.000.000 / ln (1.000.000.000.000), o que é igual a 36.191.206 825 quando arredondado para o número inteiro mais próximo. E essa estimativa difere do seu número real, 37 607 912 018, em apenas 4%.
Com igualdade assintótica, a precisão melhora com números crescentes substituídos na fórmula. Na verdade, quanto mais nos aproximamos do infinito - que não é um número em si, mas simplesmente algo mais do que qualquer número - a igualdade assintótica se aproxima da igualdade real. E embora o número real de números primos sempre seja expresso como um inteiro, o valor do outro lado da igualdade assintótica, ou seja, a fração em que o logaritmo natural aparece, pode assumir qualquer valor na linha real. Essa conexão entre números reais e inteiros é contra-intuitiva, para dizer o mínimo.
Tudo isso sopra um pouco a cabeça, mesmo para os matemáticos. E o que é mais desagradável, o enunciado do teorema sobre a distribuição dos números primos nada diz sobre por que tal relação se mantém.
“O teorema nunca foi valioso por si só. É tudo uma questão de prova ”, disse Michael Bode , um professor de matemática da Universidade de Tecnologia de Queensland, na Austrália.
Embora as provas originais de Hadamard e La Vallée-Poussin fossem elegantes, elas eram baseadas em análises complexas - o estudo de funções de números complexos - que algumas pessoas não gostam, já que a afirmação do teorema em si não tem nada a ver com números complexos. No entanto, Godfrey Harold Hardy em 1921 anunciou o surgimento de evidências não analíticas - as chamadas. prova elementar - o teorema sobre a distribuição dos números primos " extremamente improvável ", e afirmou que se alguém o encontrar, "terá que reescrever a teoria."
Atle Selberge o próprio Erdös aceitou o desafio e, em 1948, cada um publicou uma nova prova elementar independente do teorema dos números primos usando as propriedades dos logaritmos. Essa evidência levou outros matemáticos a considerar abordagens semelhantes às hipóteses da teoria dos números que antes eram consideradas muito simples para tais afirmações complexas. Como resultado, muitos resultados interessantes foram obtidos, incluindo a prova elementar de Helmut Meier em 1985 sobre não homogeneidades inesperadas na distribuição dos primos.
"O teorema dos números primos tem muitas questões não resolvidas", disse Florian Richter , um matemático da Northwestern University que publicou recentemente uma nova prova rudimentaresta famosa declaração. Richter descobriu enquanto tentava provar consequências de longo alcance do teorema dos números primos.
Com o tempo, os teóricos dos números ajudaram a estabelecer uma cultura na qual os matemáticos provam e reavaliam os teoremas não apenas para testar afirmações, mas também para melhorar suas habilidades de prova de teoremas e compreensão da matemática usada.
Isso está fora do escopo do teorema dos números primos. Paulo Ribenboim coletou pelo menos 7 provas da infinidade de primos. Stephen Kifovit e Terra Stamps identificaram 20 evidências mostrando que a série harmônica 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... não converge para um número finito, enquanto Kifovit adicionou mais 28 a eles... Bruce Ratner lista mais de 371 provas do Teorema de Pitágoras , incluindo grandes exemplos de Euclides, Leonardo da Vinci e do 20º presidente dos Estados Unidos, James Abram Garfield, que era então um congressista de Ohio.
O hábito de buscar evidências duplicadas está tão arraigado na comunidade que os matemáticos podem contar com ele. Tom Edgar e Yajun Anh notaram que a lei quadrática da reciprocidade , além da prova original de Gauss de 1796, tem mais 246 provas . Eles traçaram a quantidade de evidências em função do tempo e extrapolaram que, em 2050, a 300ª prova dessa lei poderia ser esperada.
“Gosto de novas provas de velhos teoremas pela mesma razão que gosto de novos caminhos e desvios que levam a lugares que conheço”, disse Sofia Restad , uma estudante graduada da Universidade de Kansas. Essas novas estradas dão aos matemáticos uma noção espacial do lugar em que ocorrem suas buscas intelectuais.
Os matemáticos podem nunca parar de procurar maneiras novas e mais claras de provar o teorema dos números primos e seus outros teoremas favoritos. Se você tiver sorte, alguns deles terão até a honra de serem incluídos no "Livro".